群とは操作の集まりでした。演算が定義されるということ、 (つまり、演算について閉じていること)、 「何もしない」という操作、各操作の逆操作がその集まりに含まれるという事 が大事なのでした。
《有限群(続き)》
元の数が有限であるような群を、有限群と言う。
群 の元の個数を、 の位数と言い、 で表す。
有限群の重要な例として、有限対称群、有限巡回群、二面体群がある。
「一つの元から生成されていて、元の数が有限である巡回群を、 有限巡回群という」というのが正統的な定義なのだが、 ここでは「生成する」の定義を後回しにして、 つぎのような間に合わせな的な定義をしておくことにする。
を位数 の有限巡回群と呼ぶ。
注意
上の元 について、
と書ける。だが、場合分けをするより、もっと楽な方法がある。 を決めておいて、 の範囲では、 のかわりに という記号を導入する。 (どの を考えているかはっきりさせたい時には と書く。) つぎに、一般の整数について、順繰りに、
etc |
以上のようにしておいて、 は の置換だとみなすと、
と書ける。これは以後の定理の証明に非常に有効である。
が成り立つということと、 は の倍数であるということとは、 同値である。
のなかで、 と、
とで生成された群を と書き、二面体群と言う。
注意
等式
が成り立つ。 さらに、 先ほど述べた という記号を用いると、
が成り立つ。
の 個ある。特に、 の位数は である。
※レポート問題
次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。
(期限:次の講義の終了時まで。)