1=3

代数学 IA No.3要約

群とは操作の集まりでした。演算が定義されるということ、 （つまり、演算について閉じていること)、 「何もしない」という操作、各操作の逆操作がその集まりに含まれるという事 が大事なのでした。

《有限群》

$\bullet$ 元の数が有限であるような群を、有限群と言う。

$\bullet$ 群 $G$ の元の個数を、$G$ の位数と言い、$\vert G\vert$ で表す。

有限群の重要な例として、有限対称群、有限巡回群、二面体群がある。

置換

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

は、 $1,2,3,4$ がそれぞれ《変身》して $3,1,2,4$ になると 言う操作であって、これを、

$$a(1)=3, a(2)=1,a(3)=2,a(4)=4$$

というようにも書く。

二つの置換の結合(演算)は通常《後ろから読》む。たとえば、

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

の掛け算 $ab$ は、

$$ab= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}\begin{pmatr... ...&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&2&3&1 \end{pmatrix}$$

つまり、例えば $1$ は $b$ で $3$ に化けて、次に $a$ で $3$ は $4$ に化けるので、 結果として $1$ は $ab$ によって $4$ に化けることになる。

いくつかの元 $\{a_1,a_2,\dots, a_r\}$ を順繰りに変える置換、すなわち

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_2& \dots & a_{r-1} &a_r \\ a_2 & a_3& \dots & a_r &1 \end{pmatrix}$$

のことを 巡回置換と呼び、 $(a_1,a_2,\dots a_r)$ と書き表す。

定義 3.1   集合 $S$ が与えられたとする。このとき $S$ から $S$ への全単射の全体は 写像の合成に関して群をなす。これを $S$ 上の対称群と言う。 有限集合上の対称群を有限対称群と呼ぶ。$n$ 個の元からなる 集合 $\{1,2,\dots,n\}$ の上の対称群を、$n$ 次の対称群と呼ぶ。

要は、$n$ 個の元 $1,\dots,n$ の置換全体のなす群が $n$ 次の対称群である。

定理 3.1   $n$ 次の対称群の位数は $n!$ である。

「一つの元から生成されていて、元の数が有限である巡回群を、 有限巡回群という」というのが正統的な定義なのだが、 ここでは「生成する」の定義を後回しにして、 つぎのような間に合わせな的な定義をしておくことにする。

定義 3.2   $\frak S_n$ の元 $a$ を $a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ で定義する。 このとき、

$$C_n=\{e, a, a^2,a^3,a^4,\dots, a^{-1},a^{-2},\dots\}$$

を位数$n$ の有限巡回群と呼ぶ。

注意

上の元 $a$ について、

$$% latex2html id marker 1002a(k)= \begin{cases} k+1 &(k\neq n \text{のとき}) \\ 1 &(k=n \text{のとき}) \end{cases}$$

と書ける。だが、場合分けをするより、もっと楽な方法がある。 $n$ を決めておいて、 $1\leq k\leq n$ の範囲では、$k$ のかわりに $[k]$ という記号を導入する。 (どの $n$ を考えているかはっきりさせたい時には $[k]_n$ と書くこともある。) つぎに、一般の整数について、順繰りに、

$$[n+1]=[1], [n+2]=[2], [n+3]=[3],\dots,$$

$$[0]=[n], [-1]=[n-1],[-2]=[n-2],\dots$$

等と約束する。 例えば、$n=13$ ならば、

$$[14]=[1], [15]=[2], [16]=[3],\dots,$$

$$[0]=[13], [-1]=[12],[-2]=[10],\dots,$$

$$[128]=[10],[-128]=[2],$$

$[k]=[l]$ かどうかは、 $k-l$ が $n$ で割り切れるかどうかで 判断できることに注意しておこう。

以上のようにしておいて、 $C_n$ は $\{[1],[2],[3],\dots,[n]\}$ の置換だとみなすと、

$$a([k])=[k+1]$$

と書ける。これは以後の定理の証明に非常に有効である。

定理 3.2   上の $C_n$ を考え、 $a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ とおく。 このとき、

1. $a^n=e$ である。($e$ は恒等置換)
2. 整数 $k,l$ に対して、
   $$a^k=a^l$$
   が成り立つということと、$k-l$ は $n$ の倍数であるということとは、 同値である。
3. $C_n$ の位数は $n$ である。

正 $n$ 角形をそれ自身に重ねあわせる操作のなす群を二面体群と言う。 これをここでは次のように導入する。

定義 3.3   $n$ は $3$ 以上の整数であるとする。

$\frak S_n$ のなかで、 $a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ と、

$$b= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n-1 & n \\ n & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

とで生成された群を $\mathbb{D}_n$ と書き、二面体群と言う。

注意

等式

$$b(k)=n-k+1$$

が成り立つ。 さらに、 先ほど述べた $[k]$ という記号を用いると、

$$b([k])=[-k+1]$$

が成り立つ。

定理 3.3  

1. 等式 $a^n=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}$ が成り立つ。
2. $a^k b a^l= a^{k-l}b$ が全ての整数 $k,l$ について成り立つ。
3. $\mathbb{D}_n$ の元は
   $$e,a,a^2,a^3,\dots,a^{n-1}, b,ab,a^2b,a^3b,\dots,a^{n-1}b$$
   の $2n$ 個ある。特に、 $\mathbb{D}_n$ の位数は $2n$ である。

※レポート問題

次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

$a^k (b( a^l([x])))$ および $a^{k-l}(b([x]))$ を計算することにより、 定理 5.3の 2.を証明しなさい。