一学期の目標
群とはなにか。
群とは、操作の集まりである。ルービックキューブの操作などが良い例である。
ただし、次のような条件を付ける。
便宜上、もうひとつ「何もしないのもひとつの操作と呼ぶ」という条件 を付け加えておく。
大事な事が2つ:
じつは「合成」のなかまとして、「加える」ことや「掛ける」ことを考えることも できる。これらを総称して「演算」と呼ぶことにし、 数学的にきちんとした言葉で書くと、次のようになる。
(群0)「演算」と呼ばれる写像 が定義されていて、
次の条件を満たすときに言う。
がなり立つ。
がなりたつ。
上の定義を満たすものなら、どんなものでも群である。 このようなものを十把一絡げに扱ってしまうのが群論の一般論である。
巡回置換を使った表記を使えば、もっと簡単に記述できる。 ルービックキューブなども同様に取り扱える。 慣れるまで馴染みにくいかもしれないが、手軽にノートに書いて操作を扱えるのは 大きな利点である。
写像、全射、単射、全単射の復習
写像 が、
写像のことを話すときには始集合 、終集合 を 明確にしておくことが大事である。
デカルト積集合の復習
集合 のデカルト積集合 とは、 の元と の元との組全体のなす集合である。すなわち、
例えば、
※レポート問題
次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。
(期限:次の講義の終了時まで。)
で定義する。このとき、 は群であるか、理由をつけて答えなさい。
● http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi
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