線形代数学概論 A No.4要約

一次写像と行列。

これ以降、係数体(スカラーの集合)としては実数体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を扱います。 (が、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を他の体に変えてもほとんど同じことが成り立つので、余力のある人は 注意しておくとよいでしょう。)

線形空間を比較するには線形写像を用います。 線形写像とは、和と、スカラー倍を保つような写像のことでした。 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から他のベクトル空間 $W$ への線形写像 $f$ は 基本ベクトルの行き先 $\{f(\mathbf e_1),f(\mathbf e_2),\dots, f(\mathbf e_n)\}$ だけを決めれば定まるのでした。

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定義 4.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への線形写像 $f$ が

$$f( \mathbf e_i)= \begin{pmatrix} a_{1 j}\\ a_{2 j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{pmatrix}$$

を満たすとき、$f$ は

$$A= \begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2 }& \dots& a_{1 n}\\ a_{2 1} ... ... 2 }& \dots& a_{m n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}_{i,j}$$

という数字の並びによって一意に決まる。$A$ のことを $f$ を 表現する行列 という。 (行列のサイズまで込めて言いたい時は、$(m,n)$ -行列とか $m\times n$ 行列、 はたまた $m$ 行 $n$ 列の行列と呼ぶ。) 行列 $A$ において、 $a_{ij}$ を $A$ の $(i,j)$ -成分、縦の数の並びを列、 横の数の並びを行 という。

行と列を混乱しないように覚えるには、数学のノートを思い出せば良い。 1行目、2行目、3行目etc. が第1行、第2行、第3行etc である。

命題 4.1   行列 $A$ に対して、$A$ の表現する線形写像は

$$\mathbf x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \end{pma... ...2 n} x_n\\ \vdots\\ a_{m 1}x_1+ a_{m 2 }x_2+ \dots+ a_{m n} x_n \end{pmatrix}$$

で与えられる。 $A \mathbf x$ のことを $A$ と $\mathbf x$ との積とよぶ。

見れば分かるように、線形写像(行列とベクトルの積) は定数項のない一次式で表される。したがって、線形写像のことを一次写像 と呼ぶこともある。

命題 4.2   線形写像の合成は線形写像である。

そこで、

定義 4.2   行列の積を、対応する線形写像の合成で定義する。

具体的には、

命題 4.3   $A =(a_{ij}), B=(b_{kl})$ のとき その積 $AB$ は

$$\begin{pmatrix} \sum_j \begin{pmatrix} a_{ij} b_{jk} \end{pmatrix}_{i k} \end{pmatrix}$$

により与えられる。

※レポート問題

問題 4.1   $a,b,c,p,q,r$ は実数とする。このとき

$$\begin{pmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 &... ...ix}\begin{pmatrix} 1 &0 & p & 1 \\ 0 &1 & q & 2 \\ 0 &0 & r & 3 \end{pmatrix}$$

を計算せよ。