線形代数学概論 A No.3要約

ベクトルの一次独立性(続)。一次写像。

ベクトル $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots, \mathbf v_t$ は、 その自明でない線形結合

$$c_1 \mathbf v_1+c_2 \mathbf v_2+\dots+c_t \mathbf v_t \qquad(c_1,c_2,\dots, c_t \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$, (c_1,c_2,\dots, c_t)\neq (0,0,\dots, 0)).$$

が $\mathbf 0$ に等しくなりうるとき、線形従属、 そうでないとき、線形独立であるというのでした。 線形独立性は、和とスカラー倍という線形代数らしい 言葉で語ることができる一方、それは成分で書くと連立一次方程式と 関連しているのでした。

&dotfill#dotfill;

例 3.1  

$$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},\mathbf v_... ... \\ 1 \\ \end{pmatrix},\mathbf v_3= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$$

とおくと、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ は一次従属である。 実際、

$$3 \mathbf v_1 -2 \mathbf v_2 - \mathbf v_3 =\mathbf 0$$

だからである。

例 3.2  

$$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},\mathbf v_... ...\\ 4 \\ \end{pmatrix}, \mathbf v_4= \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ \end{pmatrix}$$

とおくと、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,v_4$ は一次従属である。 実際、

$$3 \mathbf v_1 -2 \mathbf v_2 - \mathbf v_3 =\mathbf 0$$

だからである。(一般に、一次従属なベクトルのあつまりに余分なベクトルを 付け加えてもやはり一次従属である。)

上の例で、 $\mathbf v_1 \mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4$ の あいだの線形関係をカンに頼らずに求めるには、連立方程式

$$\left \{ \begin{aligned} &\phantom{1}c_1 \phantom{+ 0 c_2}+ 3 c_3 + 5c_4 =0\\ &2 c_1 + c_2 +4 c_3 + 6c_4=0 \end{aligned}\right .$$

を解けば良い。

想像がつくように、二次元ベクトル空間 $K^2$ の 3個以上のベクトルは必ず 一次従属である。このことは、一般のベクトル空間の「次元」を一次独立性を 用いて定義できる可能性を示している。 実は、ベクトル空間 $V$ が与えられた時、その中で一次独立なベクトルの 最大数のことを $V$ の次元というのである。 &dotfill#dotfill; 数ベクトル空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と、ほかのベクトル空間を比べたくなる。 あるいは、ベクトル空間同士を比べることもあるだろう。 そのために、次のようなものを使う。

定義 3.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間 $V,W$ が与えられているとする。$V$ から $W$ への 写像 $f$ が線形写像であるとは、次のことが成り立つときにいう。

(線形写像 1).

$f$ は和を保つ。すなわち

$$f(\mathbf v_1+ \mathbf v_2)=f(\mathbf v_1) + f(\mathbf v_2) \qquad (\forall v_1 \in V, \forall v_2 \in V)$$

(線形写像 2).

$f$ はスカラー倍を保つ。すなわち、

$$f(c \mathbf v)= c f(\mathbf v) \qquad (\forall v \in V, \forall c \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

「線形」という言葉の由来は次の命題から分かるかもしれない。

定義 3.2 (若干間に合わせ的)  

1. 体 $K$ 上の線形空間 $V$ の二点 $\mathbf v_1$ と $\mathbf v_2$ を結ぶ直線とは、$V$ の部分集合で、
   $$\{t \mathbf v_1 + (1-t) \mathbf w; t \in K\}$$
   なる形をしたものである。
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の線形空間 $V$ の２つの点 $\mathbf v_1$ と $\mathbf v_2$ を 結ぶ線分とは、$V$ の部分集合で、
   $$\{t \mathbf v_1 + (1-t) \mathbf v_2; t \in [0,1]\}$$
   なる形をしたものである。

この定義では「直線」や「線分」として $\mathbf v_1=\mathbf v_2$ の場合 (本来は「点」と呼ぶべきもの)を含む。そのほうが下の命題の記述が 簡潔になってラクだからだが、使用の場合にはちょっと注意が必要である。

命題 3.1   線形写像 $f$ について、

1. $f$ は $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ をとおる直線を $f(\mathbf v_1), f(\mathbf (v_2)$ をとおる直線に写す。
2. 線形写像 $f$ は $\mathbf v,\mathbf w$ のあいだの線分を $f(\mathbf v),f(\mathbf w)$ のあいだの線分に写す。

定義 3.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ のベクトル

$$\mathbf e_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{p... ... \dots, \mathbf e_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$$

( $\mathbf e_i$ は第 $i$ 成分が $1$ でその他の成分は 0 で あるようなベクトル)のことを基本ベクトルと呼ぶ

定理 3.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から他のベクトル空間 $W$ への線形写像 $f$ は 基本ベクトルの行き先 $\{f(\mathbf e_1),f(\mathbf e_2),\dots, f(\mathbf e_n)\}$ だけを決めれば定まる。

※レポート問題

問題 3.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ への線形写像 $f$ が与えられていて、

$$f(\mathbf e_1)= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}, f(\mathbf e_2)= \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ 7 \end{pmatrix}$$

を満足するとする。このとき $f(-\mathbf e_1 + 5 \mathbf e_2)$ を求めなさい。

問題 3.2 (下で、「図」はおおまかなもので良い。 更に、適当に顔を落書きしても良い。)  

1. 次の 8つのベクトルを順に線分で結んで図示しなさい。(最後の $\mathbf e_2$ と $\mathbf e_1$ も結ぶこと。)

   $$\mathbf e_1,\quad 3 \mathbf e_1 ,\quad 4 \mathbf e_1 + \mathbf e_2,\quad 4 \mathbf e_1 +4 \mathbf e_2,$$

   $$3 \mathbf e_1 +3 \mathbf e_2,\quad \mathbf e_1 +3 \mathbf e_2,\quad 4 \mathbf e_2 ,\quad \mathbf e_2$$

   
   

2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ への線形写像 $f$ が与えられていて、
   $$f(\mathbf e_1)=\mathbf e_1,\quad f(\mathbf e_2)=\mathbf e_1+ \mathbf e_2$$
   を満たすとするとき、上の図形を $f$ で 写した先の図を書きなさい。