代数学 IA 演習問題 No.10

問題 10.1   $C_n=\langle a; a^n=e\rangle$ を、位数 $n$ の有限巡回群 とします。 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to C_n$ を、

$$f(k)=a^k$$

とおくとき、次の問いに答えなさい。

1. $f$ により ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上に関係 $\equiv$ を、
   $$n_1 \equiv n_2 \ {\Leftrightarrow}\ f(n_1)=f(n_2)$$
   で定めると、これは同値関係になります。 この同値関係によって $1$ と同値なものを全て挙げなさい。 (もちろん「列挙」する必要は無い。)
2. 上の同値関係によって 0 と同値なものを全て挙げなさい。
3. 1. に挙げたものと 2. に挙げたものとの間の関係を述べなさい。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。

問題 10.2   $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to \frak S_4$ を,

$$f(k)=(1\ 2\ 3\ 4)^k\quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定義します。このとき、

1. $f(0),f(-1),f(-2)$ を求めなさい。
2. $f$ の像を求め、その元の個数を言いなさい。
3. $f$ により ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に関係 $\equiv$ を、
   $$a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$$
   により定めると、この関係は同値関係になります。。 この同値関係により $1$ と同値なものを全て挙げなさい。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。
5. 本問に現れた同値関係と前問の同値関係との関係を述べなさい。

問題 10.3   $C_{10}=\langle g; g^{10}=e \rangle ,C_4=\langle h; h^4=e \rangle$ とおき、 $f:C_{10}\to C_4$ を、 $f(g^k)=h^{2k} (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ で定義します。 すなわち、

$$f(g)=h^2 ,f(g^2)=h^4 (=e) ,f(g^3)=h^6 (=h^2),\dots.$$

($f$ はうまく定義されています。 すなわち、《$g^k=g^l$ なら $h^{2k}=h^{2l}$ 》 が成り立ちます。 なぜですか？) さらに、$C_{10}$ に関係 $\equiv$ を $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ で定義します(これは同値関係になります)。 このとき $C_{10}$ は $\equiv$ により どのようにクラス分けされるかをクラス分けの表をつくって示し、 $C_{10}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。さらに、$f$ の像も求めなさい。

問題 10.4   写像 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を、 $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$ で定義します。このとき、 次の問いに答えなさい。

1. $f$ のグラフ $\Gamma_f=\{(x,f(x))\vert x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ の概形を書きなさい。
2. $f$ の像を求めなさい。
3. $f$ により、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に関係 $\equiv$ を、 $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ で定義すると、これは同値関係になります。 この同値関係について、一つの点に同値な点の全体グラフでどのような位置に くるか、答えなさい。

問題 10.5   写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to \mbox{${\mathbb{R}}$}^2$ を、 $f(x)=(\cos(\frac{\pi x}{5}),\sin(\frac{\pi x}{5}))$ で定義します。このとき、 次の問いに答えなさい。

1. $f$ のグラフの概形を書きなさい。
2. $f$ の像を求めなさい。
3. $f$ により、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に同値関係を、 $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ で定義します。このとき、一つの点に同値な点の全体グラフでどのような位置に くるか、答えなさい。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。