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代数学 IA演習問題 No.7
を群、
をその部分群とする。このとき、
に、次のようにして同値関係
が定まります。
ある $h&isin#in;H$ があって、
が成り立つ。
この同値関係は群論においてはとくに重要なので、
記号
の代わりに、
と書いて、
《
は
と
を法として左合同である》と言う事にします。
考えている
部分群
が明確なときには、「
」 を書くのは省略して良いです。
のクラス
を
の
を法とする左剰余類と言います。
定義 7.1
上のように決めた同値関係
による
の商集合
を
と書き、
の
による左剰余類集合という。
問題 7.1
の部分群として、
を考えます。
このとき、
となるような
の例を5つ答えなさい。(なお、答には正の数ばかりでなく
負の数も入れること。)
定義 7.2
個のもの
の置換全体は群になります。
この群を
次の対称群とよび、
と書きます。
問題 7.3
前問で、
を
に換えて、
と置きます。このとき前問と同様な問題に答えなさい。
問題 7.4
を正の整数とします。
と置きます。
-
は
と同一視できることを示しなさい。
-
の元の個数を求めなさい。
問題 7.6
の、
を法とする同値関係によるクラス分けを、クラス分けの表を
つくって示しなさい。
問題 7.7
を正の整数とします。
の部分群
を、
により決めます。
このとき、
の元の個数と、左剰余類集合
の
元の個数を求めなさい。
問題 7.8
を正の整数とします。
かつ
と置きます。
-
は
と同一視できることを示しなさい。
-
の二元
が
を法として同値なのはどういう時ですか?
-
の元の個数を求めなさい。
問題 7.9
-
はかけ算に関して群になることを示しなさい。
-
は
の部分群になることを示しなさい。
-
は
を法としてどのようにクラス分けされるか、
複素平面を利用して説明しなさい。
問題 7.10 (各1)
の部分群のうち、
や
自身
以外のものを挙げなさい。ただし、単なる文字の付け替えは同じものと見なす。
問題 7.11 (各1)
の部分群のうち、
や
自身
以外のものを挙げなさい。ただし、単なる文字の付け替えは同じものと見なす。
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2012-05-23