代数学IB要約 No.14

UFD $R$ を係数とする多項式の因数分解には、 $R$ の商体 $Q(R)$ での因数分解を考えれば十分であることが ガウスの補題により分かるのでした。

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今日のテーマ:

代数についてよく学びたい人のための注: 今回の議論は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とその商体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に関してのべるが、 一般の UFD $R$ とその商体 $K=Q(R)$ に関しても同様なことが成り立つ。

次の命題はガウスの補題の系である。

命題 14.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の多項式 $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上で可約ならば、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上でも可約である。

命題 14.2   多項式 $h\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が多項式 $f,g\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の積の時、

1. $h$ の定数項は $f$ の定数項と $g$ の定数項の積である。
2. $h$ の最高次の係数は $f$ の最高次の係数と $g$ の最高次の係数との 積である。

とくに、モニックな ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の多項式がもし可約ならばそれはモニックな因数を持つ。

系 14.3   $n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が平方数でなければ、$X^2-n$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の既約元である。 よって、このとき、$\sqrt{n}$ は無理数である。

命題 14.4   体 $K$ 上の 3次もしくは2次の多項式 $f\in K[X]$ について、 $f$ が $K$ の中に根を持たなければ $f$ は $K$ 上既約である。

定理 14.5 (アイゼンシュタイン)   ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ を係数にもつモニックな多項式

$$f(X)=X^k+a_{k-1}X^{k-1}+a_{k-2}X^{k-2}+\dots+a_0$$

が、ある素数 $p$ に対して、次の二つの性質をもつとする。

1. $f(X)=X^k \quad\pmod{ p}$
2. $f(X)$ の定数項は $p^2$ で割り切れない。

このとき、 $f$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上既約である。

次のこともよく用いる。

定理 14.6   任意の $f\in k[X]$ と任意の定数 $c\in k$ に対して、

$f(X)$ が既約 ${\Leftrightarrow}$ $f(X+c)$ が既約.

定理 14.7   モニックな整係数多項式 $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が与えられているとする。 ある素数 $p$ に対して $f$ が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 係数の多項式として既約なら、 $f$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元として既約で ある。

問題 14.1   $X^2-6$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約であることを示しなさい。 (今回はもちろん $\sqrt{6}$ が無理数であることを使ってはならない。)

問題 14.2   $X^3-X-1$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約であることを示しなさい。