代数学 IB No.12要約

逆元といえば、ハイ互除法。

ユークリッド環(余りを許したわり算のできる環) $R$ においては、 与えられた $a,b \in R$ にたいし、$a,b$ の最大公約数 $d$ が存在し、 互除法により、 $a l + bm =d$ を満たす $l,m$ を具体的に求めることが できるのでした。(No.8参照。)

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命題 12.1   環 $R$ と、 $a,b,d \in R$ に対して、次の二条件は同値である。

1. $R$ のイデアルの等式 $(a,b)=(d)$ が成り立つ。
2. $al +bm=d \quad (\exists l,m \in R)$ かつ $d\vert a$ かつ $d\vert b$ が成り立つ。

単項イデアル整域(PID) $R$ においては、与えられた $a,b \in R$ について、 命題 12.1 の二番目の条件を満たす $(d)$ が存在することに注意。

定理 12.2   PID $R$ の元 $a,b$ が互いに素であるとき、 $R/(a)$ において、$b$ の同値類 $[b]_{(a)}$ は逆元を もつ。

実際、$al+bm=1$ を満たす $l,m \in R$ が存在する。$[l]_{(a)}$ が その逆元である。

定義 12.1   $R_1,R_2$ は環であるとする。このとき、$R_1,R_2$ の環としての直積 とは、デカルト積集合 $R_1\times R_2$ の上に、 次のような演算を定義したものである。

$$(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)$$

$R_1$ と $R_2$ の環としての直積を、普通 $R_1\times R_2$ と書く。

補題 12.1   $R_1,R_2$ は環であるとする。このとき、

1. $R_1\times R_2$ は環になる。
2. $R_1,R_2$ の単位元 がそれぞれ $1_{R_1},1_{R_2}$ とすると、 $R_1\times R_2$ の単位元は $(1_{R_1},1_{R_2})$ である。
3. $R_1,R_2$ がともに可換ならば、 $R_1\times R_2$ も可換である。

ベクトル空間で基本ベクトルが重要な役割を果たしたように、 環の直積においても、 $e_1=(1_{R_1},0_{R_2})$ と $e_2=(0_{R_1},1_{R_2})$ が 重要な役割を果たす。関係式

$$e_1 +e_2=1,\quad e_1 e_2=0 ,\quad e_1^2=e_1,\quad e_2^2=e_2$$

が成り立つことに注意せよ。 $e_1,e_2$ は直積の「射影」(もしくは射影元)と呼ばれる。

命題 12.3   環 $R$ の元 $a,b$ が $(a,b)=(1)$ を満たすとき、

$$R/(a b)\ni [x]_{ab} \mapsto ([x]_a, [y]_b) \ni R/(a) \times R/(b)$$

なる写像は環の同型を与える。

例 12.1 (環の直積分解の具体例)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型である。
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X^2-X)$ は ${\mathbb{C}}[X]/(X)\times {\mathbb{C}}[X]/(X-1)$ と同型である。

※三つの環 $R_1,R_2,R_3$ の直積も二つの場合と同様に定義される。 環 $(R_1\times R_2)\times R_3$ は $R_1\times R_2\times R_3$ と 同型である。４つ以上でも同様。

古典的な 105 減算は、 同型 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/105{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ をもとにしている。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

$L=2012113$ とおく。このとき、5桁以上の正の整数 $N(<L)$ を自分できめて、その $N$ にたいして, ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/L{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、$N$ の逆元をもとめよ。

(II).

$1000$ で割ると $17$ 余り、 $1003$ で割ると $34$ 余るような整数 $n$ の例を一つ求めよ(途中の計算はある程度省略してよい。 ただし求めた方法は書いておくこと。)