代数学演習 I 問題 No.10

問題 10.1   単項イデアル整域 $R$ の元 $a,b$ について、$R$ のイデアル $I=(a,b)$ は、($R$ が単項イデアル整域だから、)ある一つの元 $d$ で生成されるイデアル $(d)$ に一致する筈です。この $d$ は $a,b$ の最大公約元であること、すなわち、

1. $d$ は $a,b$ の公約元である。(つまり $a=da',b=db'$ となる $a',b'\in R$ が存在する。)
2. $d'\in R$ が $a,b$ の公約元ならば、$d'$ は $d$ の約元である。

ということを示しなさい。

上の問題により、単項イデアル整域では、 「最大公約元」を、数のときと同様に扱えます。

問題 10.2   $\alpha$ を ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ の素元とします。このとき、 $\vert\alpha\vert^2$ は素数か、素数の2乗かのいずれかであることを示しなさい。(ヒント:素数 $p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が $\vert\alpha\vert^2$ の約数ならば、 $p\vert\alpha\overline{\alpha}$ . $p$ と $\alpha$ との最大公約元をとってみなさい。)

ユークリッド環においては、《ユークリッドの互除法》によって最大公約元を求めることができます。 手始めに次の問題をどうぞ。

問題 10.3   次の環 $R$ の二つの元の最大公約数をユークリッドの互除法により求めなさい。

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ; $100010,10124$
2. $R={\mathbb{C}}[X]$ ; $X^{10}-1,X^{12}-1$

例題 10.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ において、 $3+4\sqrt{-1},15$ の最大公約元を求めなさい。

(解答)

$\vert 15\vert=15>5=\vert 3+4\sqrt{-1}\vert$ だから、まず $15$ を $3+4\sqrt{-1}$ で割ってみる。

$$\frac{15}{3+4\sqrt{-1}}=\frac{9-12\sqrt{-1}}{5}=1.8-2.4\sqrt{-1}$$

この商にもっとも近いのは $2-2\sqrt{-1}$ .

$$10-(3+4\sqrt{-1})(2-2\sqrt{-1})=1-2\sqrt{-1}$$

ゆえに、$15$ を $3+4\sqrt{-1}$ で割った《余り》は $1-2\sqrt{-1}$ . こんどは $3+4\sqrt{-1}$ を $1-2\sqrt{-1}$ で割る。割り切れるので、答えは $1-2\sqrt{-1}$ .

問題 10.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ において、次の各組の最大公約元を求めなさい。

1. $12+36\sqrt{-1}$ , $5+13\sqrt{-1}$
2. $7+8\sqrt{-1}$ ,$226$

問題 10.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ において、次の各組の最大公約元を求めなさい。

1. $2+3\sqrt{-2}$ , $11+22\sqrt{-2}$
2. $5+3\sqrt{-2}$ ,$129$

問題 10.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2+1)$ の次の元を簡単にしなさい。

$$\bar{X}^5+2\bar{X}^4+3\bar{X}+2$$

問題 10.7   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X-1)$ の元 $\bar{X}^{100}$ を簡単にしなさい。

問題 10.8   環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$ の元 $a \bar{X}+b$ ( $a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $(a,b)\neq (0,0)$ ) の逆元を(それが存在する場合には)求めなさい。 この環は体だろうか。

問題 10.9   環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-1)$ の元 $a \bar{X}+b$ ( $a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $(a,b)\neq (0,0)$ ) の逆元を(それが存在する場合には)求めなさい。 この環は体だろうか。

問題 10.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-5)$ の元 $(\bar{X}+1)^3$ を簡単にしなさい。

問題 10.11  

1. $10$ 進数 $123456789 (10)= 1\times 10^8+2\times 10^7+3\times 10^6+4\times 10^5 +5\times 10^4+6\times 10^3+7\times 10^2+8\times 10^1+9$ を $9$ で割った余りを 求めなさい。
2. $7$ 進数 $135246 (7)= 1\times 7^5+3\times 7^4+5\times 7^3+ 2\times 7^2+4\times 7+6$ を $6$ で割った余りを求めなさい。
3. $16$ 進数

   $$(16)$$

   $$(= 1 \cdot 16^{14}+4 \cdot 16^{13}+7 \cdot 16^{12}+10\cdot 16^{11}+ 13\cdot 16^{10}+2 \cdot 16^9 +5 \cdot 16^8$$

   $$+ 8\cdot 16^7 + 11\cdot 16^6 +14\cdot 16^5 +3 \cdot 16^4 +6\cdot 16^3+ 9\cdot 16^2 + 12\cdot 16 +15 )$$

   
   
   を $15$ で割った余りを求めなさい。(a=10,b=11,c=12,d=13,e=14,f=15; コンピュータ の世界では 147ad258be369cf$(16)$ のことを 147ad258be369cfh とか 0x147ad258be369cf と書きます。
4. 多項式 $X^{14}+3X^5+7X^2+8$ を $X-1$ で割った余りを求めなさい。

問題 10.12   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ にNo.1 の問題1.7, 1.8 で定義された和 $\boxplus$ , 積 $\boxtimes$ を導入した環を $R$ とするとき、

1. $1_R=6$ であることを確認し、正の整数 $n$ にたいして、
   $$n_R= \overbrace{1_R\boxplus 1_R \boxplus 1_R \boxplus \dots \boxplus 1_R}^n (= \overbrace{6\boxplus 6\boxplus 6 \boxplus\dots \boxplus 6 }^n)$$
   の値を求めなさい。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $R$ への準同形写像を作りなさい。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong R$ であることを示しなさい。