代数学演習 I 問題 No.8

今回（No.8）は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 8.1 (各1)   次の各々の環の同型を準同型定理を用いて証明しなさい。

1. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X-6) \cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X+7) \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. ${\mathbb{C}}[X]/(X-\pi) \cong {\mathbb{C}}$ (ただし $\pi$ は円周率。)
4. ${\mathbb{F}}_{11}[X]/(X-4)\cong {\mathbb{F}}_{11}$ .

問題 8.2   一般に、体 $K$ 上の一次式 $p(X)=a X +b$ ($a,b \in K$ , $a\neq 0$ ) に対して、 $K[X]/(p(X)) \cong K$ であることを示しなさい。

問題 8.3   前問で、$K$ が体であるという仮定をやめて $K$ が一般の可換環であると 仮定した場合には、 $K[X]/(p(X))$ は $K$ と同型とは限らないことを示しなさい。

問題 8.4   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{6}]\cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-6)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ を示しなさい。

問題 8.5   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の部分集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[1/5]=\{m/5^n; m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; n=0,1,2,\dots,)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の部分環になることを示しなさい。

問題 8.6  

$$(5X-1)$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[X]\cap {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]=(5X-1){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$$

を示しなさい。

問題 8.7  

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[1/5]\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(5X-1){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$$

を示しなさい。

問題 8.8   環 $R$ のイデアル $I$ と変数 $X$ について、次の同型を示しなさい。

$$R[X]/IR[X] \cong (R/I)[X]$$

問題 8.9   環 $S$ の部分環 $R$ と $S$ のイデアル $I$ について、

$$R+I=\{r+a;r\in R,a \in I\}$$

は、$S$ の部分環となることを示しなさい。

問題 8.10   環 $S$ の部分環 $R$ と $S$ のイデアル $I$ について、

$$S=R+I, \quad R\cap I=0$$

が成り立てば、 $S/I\cong R$ となることを示しなさい。

問題 8.11   環準同型 $f:R\to S$ について、$J$ が $S$ のイデアルであれば、 $f^{-1}(J)$ は $R$ のイデアルとなることを示しなさい。

問題 8.12 (各1)   環準同型 $f:R\to S$ について、

1. $I$ が $R$ のイデアルのとき、$f(I)$ は $S$ のイデアルとなりますか？(ならなければ反例を挙げてください。)
2. $f$ が全射ならどうですか？

問題 8.13   $K$ を体とします。このとき同型 $K[X,Y]/XK[X,Y]\cong K[Y]$ を示しなさい。

問題 8.14   環 $S$ とその部分環 $R$ とについて、$P$ が $S$ の素イデアルならば、$P\cap R$ は $R$ の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか？

問題 8.15   環 $R$ のイデアルに $I$ について、 $I\cdot I$ を $I^2$ と略記します。$J$ も $R$ のイデアルで、$I+J=R$ となれば、$I^2+J^2=R$ となることを示しなさい。

問題 8.16   整域 $R$ の元 $a,b$ について、次を示しなさい。

1. $a\vert b$ である(すなわち、ある $c\in R$ があって、 $b=ac$ と書ける)ことと、 $aR\subset bR$ とは同値である。
2. $a$ と $b$ とが同伴である(すなわち、$a\vert b$ かつ $b\vert a$ が成り立つ)ことと、 $aR=bR$ とは同値である。

以下は初等整数論からの補遺です。

問題 8.17   正の整数 $a,b$ の最大公約数が $1$ であるための必要十分条件は、

$$a l +b m=1$$

を満たす 整数 $l,m$ が存在することである。これを示しなさい。

問題 8.18 (この問題に限っては前問が解けている、いないに拘わらず その結果を使ってよい。(いずれにせよ講義でやるから。)   ) 前問を用いて、 $a,b$ が互いに素ならば、 $a^2$ と $b^2$ も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.19   前問を用いて、 $a,b$ が互いに素ならば、 $a^2$ と $b^2$ も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.20   前問をもちいて、 $\sqrt{6}$ は無理数であることを証明しなさい。ただし、 素因数分解の一意性の知識を用いないで証明すること。

問題 8.21   前問と同じ前提条件で、 一般に、平方数でない(つまり、 $\{n^2; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ の元ではない)整数 $m$ に たいして、 $\sqrt{m}$ は無理数であることを証明しなさい。

問題 8.22   整数係数の多項式

$$p(X)=\sum_{j=0}^n a_j X^j \qquad(a_j\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ (j=0,1,2,\dots,n),\quad a_n \neq 0)$$

について、 $p$ の、 0 でない有理根 $r$ があったとする。 すなわち、$p(r)=0$ とする。 $r$ を既約分数 $\frac{l}{m}$ と書いたとき、

1. $r$ の分子 $l$ は $p$ の定数項 $a_0$ の約数であることを示しなさい。
2. $r$ の分母 $m$ は $p$ の最高次の係数 $a_n$ の約数であることを示しなさい。