代数学演習 IB 問題 No.2

注意 これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、 単位元を持つ環と解釈していただきたい。(単位元の存在がとくに重要な時には、 一応ことわる。)ただし、積が可換であるとはまだ仮定しない。

問題 2.1   単位元 $1$ を持つ環 $R$ の元 $x,y,z$ にたいして、

$$xy=1 y x$$

$$zx=1 z x$$

が成り立つとき、$z=y$ であって、

$$xy=yx=1$$   (すなわち $y(=z)$ は $x$ の逆元である)

が成り立つことを示しなさい。

定義 2.1   単位元の存在する環 $R$ において、$R$ のなかで逆元が存在するような元のことを、 $R$ の可逆元とか、単元、あるいは単数といいます。

定義 2.2 (部分環の定義)   $R$ が単位元をもつ環であるとする。$R$ の部分集合 $S$ が $R$ の部分環であるとは、$S$ が次の条件を満たす時にいう。

1. $S$ は $R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
2. $S$ は $R$ の単位元を元として持つ。

上の条件のうち、 (1)が本質的部分であり、(2) は冒頭で述べた注意に沿うための 技術的条件である。ただし、(2)をぬかしてしまうと理論は見かけ上かなり違った 形になるので単位元のない環を扱う時(がもしあればその時)には注意が必要である。

問題 2.2 (全部で1)   次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環であるか、理由をつけて答えなさい。

1. 整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. 有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
4. 複素数を成分にもつ二次行列全体の集合 $M_2({\mathbb{C}})$ .

問題 2.3   ${\mathbb{C}}$ の部分環 $S$ が、 $1,\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として持っているとします。 この時、 $2\sqrt{15},4\sqrt{3},4\sqrt{5}$ も $S$ の元であることを示しなさい。

問題 2.4   有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ (つまり、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) が $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を元として含むとき、 $\sqrt{2},\sqrt{3}$ も $R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.5   有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ が $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として含むとき、 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ も $R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.6 (前問と同じ問題だったため削除)  

問題 2.7   有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ が $\sqrt{2}+2\sqrt{5}+3\sqrt{7}$ を元として含むとき、 $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{7}$ も $R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.8   有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ について、次の二つの条件は同値であることを 示しなさい。

1. $\sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$ .
2. $\sqrt{3}\in R$ かつ $\sqrt{7}\in R$ .

問題 2.9   前問で、$R$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含む、という条件を 外しても同様のことが言えるだろうか。 正しいなら証明し、間違っているなら反例を あげなさい。

問題 2.10 (各1)  

1. $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ は ${\mathbb{C}}$ の部分環だろうか？
2. 上の $S$ を含む、 ${\mathbb{C}}$ の部分環で、最小のもの(つまり、$S$ で 生成される ${\mathbb{C}}$ の部分環)はなにか？

問題 2.11 (各1)  

$$S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+2 \sqrt{2}... ...+2\sqrt{6} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+ (\sqrt{2}+\sqrt{3}){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

とおく。このとき、

1. $S$ は ${\mathbb{C}}$ の部分環であるだろうか。
2. $S \not \ni \sqrt{2}$ をしめしなさい。
3. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を元として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ は かならず $S$ を部分集合として含むことを示しなさい。

問題 2.12 (全部で1)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の可逆元を全て求めよ。
2. 一般の環 $R$ について、 $R$ の可逆元の全体は 群をなすことを証明せよ。

問題 2.13   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の $3$ 次元ベクトル空間 $V=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ に、普通の和と、 ベクトルの外積を入れたものは環であるだろうか。

次の問題は上級者用。従って細かい説明はしない。 解こうと思うものは詳細は自分で考えること。 以下、 $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ という記号を用いる。

問題 2.14 (各1)   環 $R$ が与えられているとする。 $R$ の元の列の全体

$$S(R)=\{(a_0,a_1,a_2,\dots, a_n,\dots) ; \forall i \in \mathbb{N}a_i \in R \}$$

に、成分ごとの和で和を定義し、 積を

$$(a_i)_{i\in \mathbb{N}}\cdot (b_i)_{i\in \mathbb{N}}= ( \sum_{j=0}^i a_j b_{i-k})_{i \in \mathbb{N}}$$

で定義するとき、

1. $S(R)$ はこの和と積について環をなすことをしめしなさい。

2. $S(R)$ のののうち、有限数列であるものの (すなわち、数列 $(a_i)$ であって、 「 $\exists N \forall i >N \quad a_i=0$ 」 を満たすもの) 全体を $F(R)$ と書くと、これは $S(R)$ の部分環をなすことをしめしなさい。
3. $r\in R$ に対して、 $(r,0,0,\dots)$ を $c_r$ と 書くことにする。 $c_R=\{c_r; r\in R\}$ は $F(R)$ の 部分環であることを示しなさい。
4. $F(R)$ は、 $c_R$ 上 $X=(0,1,0,0,\dots)$ で生成されることを 示しなさい。