論理と集合要約 No.16

問題 16.1   命題 P: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<y \implies \exists z\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<z$    and $z<y)))$ について、

1. P の否定命題を「not を使わずに」書きなさい。(答のみで良い。)
2. P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。真である方の 命題を明記し、それを証明しなさい。

問題 16.2   写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^3-x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ について、 次の各問に答えよ。それぞれ理由も述べること。

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ を求めよ。
2. $\overset{-1}{f}(\{6,7,8,9,10\})$ を求めよ。

解答

16.1

(1) P の否定は

$$\exists x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\exists y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$( x < y$$    and $$\forall z\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$( x\geq z$$    or $$z \geq y)))$$

である。

(2) P のほうが真である。

[証明] $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を持ってくる。いま、 $x<y$ と仮定すると、

$$z=\frac{x+y}{2}$$

は

$$x< z <y$$

を満たす ${}^\dagger$ 。[証明終わり]

( ${}^\dagger$ ここのところは、もう少し詳しく言えば

$$z-x=\frac{y-x}{2} >0,\quad y-z=\frac{y-x}{2} >0$$

であるからである。)

16.2

(1)

$$\overset{-1}{f}(\{0\}) = \{x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; f(x)=0\}$$

$$=\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x^3-x=0\} =\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x(x-1)(x+1)=0\}$$

$$=\{0,1,-1\}.$$

(2) $x=-1,0,1,2,3$ における $f$ の値はそれぞれ

$$0,0,0,6,24$$

であり、$f$ は $x \leq -1$ においては単調増加であるから、

$$x<-1 \implies f(x) < f(-1)=0.$$

同様に、$f$ は $x \geq 3$ においても単調増加であるから、

$$x>3 \implies f(x) > f(3)=24.$$

ゆえに、$f(x)$ の値が $6,7,8,9,10$ のいずれかに等しいのは ( $x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の条件のもとで) $x=2$ の ときに限る。すなわち、

$$\overset{-1}{f}(\{6,7,8,9,10\}) =\{2\}$$