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論理と集合要約 No.13
第13回目の主題 :
定義 13.1 (再)
集合
の部分集合の族
が
の
クラス分け (
分割とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。
-
.
-
,
ならば
.
「同値関係」と、論理で言うところの「同値」とは
(遠縁の親戚ぐらいにはあたるが)、別物である。よく区別すること。
問題 13.1 (再)
のクラス分け
が与えられたとき、
であることを
and
か否かで判定すれば、この
は同値関係であることを示しなさい。
問題 13.2 (再)
に同値関係
が与えられているとする。
に対して、
とおくとき、次のことを示しなさい。
-
. とくに、
.
-
.
-
.
先ほどと同様に、
のなかから重複するものを省くことにより、
のクラス分けを得ることができる。
容易に分かるように、上記2問題の操作は互いに逆になっている。
すなわち、クラス分けを与えることとと同値関係を与えることは
本質的に同じ事である。
定義 13.3
集合
に同値関係
が与えられているとき、
問題
13.2 で見たように
に次のようなクラス分けが定まるのであった。
このクラス分けによるクラスの全体を
とよび、
の
による
商集合とよぶ。
問題 13.3 (再)
写像
が与えられているとき、
か否かの判定を
か否かでするとき、
すなわち、
と定めるとき、
は
の同値関係であることを
定義に従って示しなさい。
上の問題の
を以下でも流用する。
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2011-07-13