第12回目の主題 :
で定義する。
により定義する。
一般に、写像 が与えられると、 の元は の値によって クラス分けされる。
◎クラス分けと同値関係。
クラス分けは、「クラス分けの表を書く」ことにより定義することができる。 ただし、次のような難点がある。
そこで、クラス分けを定める別の方法を説明しよう。 「 が同じクラスである か同じクラスでないかのみを判定するマシン」が与えられているところを 想像すると良い。
「同値関係」と、論理で言うところの「同値」とは (遠縁の親戚ぐらいにはあたるが)、別物である。よく区別すること。
か否かで判定すれば、この は同値関係であることを示しなさい。
とおくとき、次のことを示しなさい。
先ほどと同様に、 のなかから重複するものを省くことにより、 のクラス分けを得ることができる。 容易に分かるように、上記2問題の操作は互いに逆になっている。 すなわち、クラス分けを与えることとと同値関係を与えることは 本質的に同じ事である。
と定めるとき、 は の同値関係であることを 定義に従って示しなさい。
「ホテルヒルベルト」的な表現をしてみよう。 写像 により、 のそれぞれの ヒトはホテル のある部屋に入る。 とは、 さんと さんが同じ部屋に泊まることを意味する。 入る部屋によって のクラス分けが行われるというわけである。