は 上の連続関数に拡張されて ならば単調増加、 ならば単調減少、 なら定数関数になる。 におけるこの関数の値を と書く。
の定義を思い出しておこう。
逆関数の定理により、 は の単調増加連続関数であることが わかる。
数学では断らない限り対数の底としては をとり、 自然対数を考えるのが普通である。
上の定理は の の挙動を記述するものだが、 のときの挙動も大事である。
を証明せよ。
を証明せよ。
前回、 が連続ならば や も連続であることを証明(復習)した。
このことは、つぎのようなことを使えば合成関数の連続性により 証明できてスッキリする。
問題12.1 解答。 任意の に対して、 とおく。 ( の代わりに を考えることによって、 が大きい時の心配をしなくて済む。) とおく。 は となるような整数である。 そうしておいて、
を を満たすような任意の有理数としよう。 すなわち、
No.12 の講義中に述べたように、 が有理数の範囲では は単調増加であるから、 , が有理数であることに注意して
他方で、
(二項定理のところは数学的帰納法の議論で置き換えても良い。) ゆえに、 乗根の単調性により、
(14.1), (14.2), (14.3) を組み合わせることにより、
すなわち、
がわかる。 ARRAY(0x8edbfa0)