Next: About this document ...
微分積分学概論AI要約 No.12
定義 12.1 (``§3 (I)(p.18)'')
実数のある区間
で定義された関数
が狭義単調増加関数であるとは、
をみたすときにいう。
たまにこの条件を
と同じと勘違いしている学生を
見かけるが、これはもちろん違う。
や、
を考えてみれば良い。(ウラ面の図も参照)
定理 12.2 (``定理17の系'')
が閉区間
上の狭義単調増加な連続関数であれば、
の逆関数
が存在する。
さらに、この
は連続で、かつ狭義単調増加である。
例 12.3
正の整数
に対して、
0
以上の実数を定義域とする関数
は連続であり、狭義単調増加である。この関数は全射でもあるから、
は逆写像を持つ。この関数を
と書く。
つまり
は
を満たす唯一の正の実数である。
命題 12.4
任意の正の実数
に対して、
がなりたつ。
Proof.
とおくと、定義により、
.
ゆえに、
は
乗して
になる実数である。
そのような実数は唯一つ、すなわち
しかないのであるから、
両者は等しい。
同様にして、次のことが分かる。
命題 12.5
正の整数
が
を満たせば、任意の実数
にたいして、
がなりたつ。
この命題がなりたつので、
のことを
と
書いても誤解の恐れがない。
例 12.6
この例では、高校で習う三角関数の知識は
既知であるとする。
-
は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを
と書く。
-
は狭義単調減少連続関数である。その逆関数のことを
と書く。
-
は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを
と書く。
はそれぞれ
などと書くこともある。
中間値の定理の証明が途中になってしまったので、ここでその証明を書いておこう。
に対して、
と仮定する。
にたいして
とおく。
仮定
により
がわかる。
とくに、
である。
他方で
は
の部分集合だから、
有界。ゆえに、
は上限
をもつ。
-
の場合。
仮定 (
) により
がわかる。
は
において連続であるから、
に対して、
ある
が存在して、
and
とくに、
として
をとれば,
かつ
であるから、
(12.1) |
|
他方で
は
の上限であるから、
には
ある元
が存在する。
であることと、
の定義を
みると、
がわかる。 これは (12.1)式と矛盾する。
-
の場合。
仮定 (
) により
がわかる。
は
において連続であるから、
に対して、
ある
が存在して、
and
とくに、
なる
任意の
に対して、
(12.2) |
|
他方で
は
の上限であるから、
には
ある元
が存在する。
の定義により、
に対して
このことと (12.2)式を併せると、
が結論され、
これは
の定義に矛盾する。
以上により、
.
参考までに定義 12.1 の下の注意で述べた
のグラフを
載せておこう。
Next: About this document ...
2011-07-01