微分積分学概論AI要約 No.11

定義 11.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $D$ 上で定義された $f$ が $D$ で連続であるとは、その定義域の全ての点 $a$ で連続であること、すなわち、

$$\forall a \in D \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 ; \forall x\in D \left( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon \right)$$

が成り立つときに言う。

定理 11.2 (``定理13'')   同じ定義域 $D$ で連続な関数 $f,g$ について、

1. $f + g$ も $D$ 上の連続関数である。
2. $f g$ も $D$ 上の連続関数である。

上の定理は、下の定理の多変数版を用いるともっと鮮やかに証明される

定理 11.3   二つの連続関数の合成関数は連続である。

系 11.4  

1. $x$ の多項式で定義される関数(多項式関数)は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ で連続である。
2. $x$ の有理式で定義される関数
   $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$   ($p,q$ は $x$ の多項式)
   (有理関数)は、 $D_q=\{x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; q(x)\neq 0\}$ で連続である。

次のことは、「連続 $\implies$ グラフがつながっている」ということの 表現法の一つと言える。

定理 11.5 (``教科書定理14'', 中間値の定理)   関数 $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続(すなわち、$[a,b]$ の各点で連続)とする。 このとき $f(a)$ と $f(b)$ の中間の値 $\gamma$ にたいして、 $f(c)=\gamma$ をみたすような $c\in [a,b]$ が存在する。

上の定理は、位相空間論において「連結集合の連続像は連結である」という 定理に一般化される。 (区間は実数直線の連結部分集合として特徴づけることができる。)