微分積分学概論AI要約 No.9

定理 9.1 (再掲)   [``教科書定理 10''] 極限 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ と $\lim_{x\to x_0} g(x)$ がともに 存在すると仮定する。このとき、次のことが成り立つ。

1. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) \pm g(x)) =\lim_{x\to x_0} f(x) \pm \lim_{x\to x_0} g(x).$$
2. $$\lim_{x\to x_0} c f(x)= c \lim_{x\to x_0} f(x)$$ .
3. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) g(x)) =\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right) \left( \lim_{x\to x_0} g(x) \right).$$
4. さらに、 $\lim_{x\to x_0} f(x) \neq 0$ と仮定すると、
   $$\lim_{x\to x_0} (g(x)/ f(x)) =\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right)/ \left( \lim_{x\to x_0} f(x) \right).$$

数列の収束と関数の収束には次のような関係がある。

定理 9.2   $x_0$ の近くで定義された関数 $f$ にたいして、 次のことは同値である。

1. $f$ の $x\to x_0$ での極限が存在する。
2. $a_n \to x_0$ で、 $a_n \neq x_0 (\forall n)$ なる任意の数列 $\{ a_n\}_{n=1}^\infty$ にたいして、 $\{f(a_n)\}_{n=1}^\infty$ はある値に収束する。

問題 9.1   正の数 $\epsilon>0$ が与えられているとする。 このとき、 次のような 正の数 $\delta$ を見つけなさい。

$$\forall b \left( \vert b-5\vert<\delt... ...text{ and } \left\vert\frac{1}{b}-\frac{1}{5} \right\vert <\epsilon ) \right)$$