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微分積分学概論AI要約 No.5
第5回目の主題 :
定理 5.1
(再掲) 実数列
,
はそれぞれ収束するとする。このとき、
「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、
に対して
は収束して、
「実数の乗法は連続である。」
実数の除法は「連続」である。 もっと詳しく言うと、
なら、 有限個の例外を除いて
であって、
定理 5.2
上に有界な単調増加数列
はその上限に収束する。
もちろん、「上」を全て「下」に、「単調増加」を 単調減少に置き換えた命題 (下に有界な単調減少数列はその下限に収束する)も成り立つ。
問題 5.1
正の整数
に対して、
とおく。(つまり
はその二乗が
を超えないような整数のうち 最大のものである。)このとき、
を求めよ。 (答えのみで良い。)
定義に基づいて
を示しなさい。
さらに、
を求めてそれが正しいことを定理
5.1
を用いて証明しなさい。
2011-05-26