◎ には端点があって、そこでのようすは のほかの点の ようすと大きく異っている。それに対して、 の各点はどの点も似ている。
◎ には最大元があるが、 にはない。 次の定義を見よ。
(つまり、どの をもってきても ) が成り立つときに言う。
◎ 集合の上界は存在するとは限らない。 また、上界が存在したとすると、それはいくつもある。
とおく((*)2011/4/1現在)。このとき、
旅行に行くとき、かかる旅費をキッチリ計算して、その分のお金しか 持って行かない人は少なかろう。「大体△万円あれば十分」とか 見積もる。これが上界の考え方。
は上界をもつだろうか、
(解答) と因数分解できるので、
であることがわかる。 したがって、 は上界 をもち、上に有界である。
上界は一つ挙げれば十分である。上の例題なら (上限) でも良いし、 でもよい。 が因数分解できない場合も、 つぎのような別解ならうまくいく。
(別解) まず、 とおくと、 の元 は を満たす。 なぜなら、もし なる が存在したとすると、
上の平方根を使う定義は次のように 高次元の空間にも容易に拡張できるという長所を持つ。
次に出てくる三角不等式も実は高次元の場合にも成り立ち、 解析学の基本的な道具として大切である。
は上界をもつだろうか、 もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、 もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。