代数学III要約 No.13

ガロア対応の例

例 13.1 (11.4の再掲)   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}, \omega), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ . (但し $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ). $L$ は $K$ のガロア拡大である。 ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の生成元としては

$$% latex2html id marker 976a: \begin{cases} \sqrt[3]{11}&\m... ...}&\mapsto \sqrt[3]{11} \\ \omega&\mapsto \omega^2 \end{cases}$$

で定義される $a,b$ がとれて、

$$a^3=e,\quad b^2=e,\quad b^{-1} a b = a^{-1}.$$

を満たす。ゆえに、

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathfrak{S}_3$$   (3次の対称群)$$.$$

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ のほかに:

• 位数 $2$ のもの 3つ。($\{e,b\}$ , $\{e,a b\}$ , $\{e, a^b \}$ ).
• 位数 $3$ のもの 1つ ( $\{e,a,a^2\}$ )。

それらに対応する中間体は

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}\omega^2),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11} \omega)$ .
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ .

例 13.2   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}, i), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ . (但し $i=\sqrt{-1}$ .) $L$ は $K$ のガロア拡大である。 ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の生成元としては

$$% latex2html id marker 1031a: \begin{cases} \sqrt[4]{3}&\m... ...} \sqrt[4]{3}&\mapsto \sqrt[4]{3} \\ i &\mapsto -i \end{cases}$$

で定義される $a,b$ がとれて、

$$a^4=e,\quad b^2=e,\quad b^{-1} a b = a^{-1}.$$

を満たす。ゆえに、

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathbb{D}_4$$   (二面体群)

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ のほかに:

• 位数 $2$ のもの 5つ。 ( $\{e,a^2\}$ , $\{e,b\}$ , $\{e,a b\}$ , $\{e,a^2 b\}$ , $\{e,a^3 b\}$ ).
• 位数 $4$ のもの 3つ。 ( $\{e,a,a^2,a^3\}$ , $\{e,a^2,b,a^2 b\}$ , $\{e,a^2, a b, a^3 b\}$ ).

それらに対応する中間体は

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$( \sqrt{3},i)$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3})$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3} i)$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}(1+i))$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}(1-i))$ .
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(i)$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3}i)$ .

問題 13.1   $\zeta_5=\cos(2 \pi/5)+ \sqrt{-1} \sin(2 \pi/5)$ とおく($1$ の $5$ 乗根)。 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[5]{2},\zeta_5)$ と $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のあいだの中間体で、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上拡大次数が $5$ のものを $2$ つ以上求めよ。