代数学III要約 No.10

今日のテーマ:

定義 10.1   体 $K$ とその拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ の部分体 $M$ で、 $K$ を部分体として含むもののことを $L$ と $K$ のあいだの 中間体と呼ぶ。

補題 10.2   体 $K$ の有限次ガロア拡大 $L$ が与えられているとする。このとき、 $K$ と $L$ の中間体 $M$ に対し、

1. $L$ は $M$ の有限次ガロア拡大でもある。
2. ガロア群 $H=\operatorname{Gal}(L/M)$ は ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 とみなすことができる。

定義 10.3   体 $K$ の有限次ガロア拡大 $L$ が与えられているとする。このとき、 ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ に対して、

$$L^H=\{ x \in L;\quad \sigma(x)=x \qquad (\forall \sigma \in H)\}$$

とおく。これは $K$ と $L$ の中間体であり、 これを $H$ の固定体(もしくは 不変体)と呼ぶ。

補題 10.4   体 $K$ の有限次ガロア拡大 $L$ が与えられているとする。このとき、 ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ に対して、

1. $M=L^H$ は $K$ と $L$ の中間体である。
2. $\vert L:K\vert=\vert H\vert$ .

定理 10.5   体 $K$ の有限次ガロア拡大体 $L$ が与えられたとき、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の 部分群 $H$ と、$K$ と $L$ のあいだの中間体とは上の二つの補題にある対応で 一対一に対応する。

系 10.6   体 $K$ と 体 $K$ の有限次ガロア拡大体 $L$ が与えられたとき、$K$ と $L$ のあいだの 中間体は有限個しかない。

問題 10.1   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ と $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のあいだの中間体で、 $L$ とも $K$ とも異なるものをひとつ挙げよ。 理由も書くこと。

問題 10.2   前問で、中間体をすべて挙げよ。