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代数学III要約 No.8
今日のテーマ:
体
の拡大体
と
とがあるとき、
から
への
-同型は
どのくらい存在するだろうか。
定義 8.1
から
への
-同型の全体の集合を
と書く。
まず
が
の単純拡大のときから
考えてみよう。
補題 8.2
体
上の代数的数
の最小多項式を
とおく。
の拡大体
にたいして、
内の
の根を、重複を許さずに(つまり重複を取り除いて)ならべたものを
とすると、
から
への
-同型はちょうど
個存在する。
とくに、
で、等号は次の二つの条件がともに成り立つとき、
そしてそのときに限りなりたつ。
-
は
上分離的である。
-
は
の分解体である。
上の補題は、
が十分大きいときには
の
元の数が分離性の判定に使えることを示唆している。
上の補題を何度も用いることにより、次のことが証明できる。
命題 8.3
上代数的な元
と
の拡大体
について、
と書くと、
がすべて
上分離的で、
が それらの最小多項式すべての分解体ならば、等号が成り立つ。
ちょっとトリッキーだが、次のことにも注意しておこう。
補題 8.4
の拡大体
のどれかひとつの元
が
上非分離的であるならば、
証明は
で一旦途中下車することにより得られる。次の系は
分離性の判定が生成元だけで済むことを示しており、大切である。
系 8.5
上代数的な元
が
上分離的ならば
の元は
すべて分離的である。
「大きな体」
に頼ってばかりいると面倒である。
これを排除するために(もちろん他の理由もあるが次のようなものを考える。
定義 8.6
上の代数拡大体
が
上
正規拡大であるとは、
の任意の元の任意の共役が
に属するときにいう。
言い換えると、これは
の各元の
上の最小多項式が必ず
上で
一次式の積に分解されるということである。
定義 8.7
体
の分離的でかつ正規な代数拡大を
ガロア拡大と呼ぶ。
体
のガロア拡大
が与えられたとすると、
上で
として使っていたものの代わりに
自身を使えることが
わかる。
問題 8.1
は
の正規拡大であることを定義に従って確認しなさい。
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2011-01-11