代数学III要約 No.5

今日のテーマ:

体 $K$ 上の一変数既約多項式 $f(X)$ が与えられているとする。 $K$ に $f$ の根 $\alpha$ を付け加えてできたような体 $L_1=K(\alpha)$ を つくることができるのであった。 もちろん、$f$ は $L_1$ 上一次の因数 $X-\alpha$ をもつ。 しかし、$f$ がこれ以上因数分解できるかどうかは 場合による。

定義 5.1   体 $K$ とその上の(既約とは限らない)一変数多項式 $f\in K[X]$ が与えられているとする。このとき、 $K$ の拡大体 $L$ が $f$ の分解体であるとは、$f$ が $L$ 上の多項式として 1次式の積に分解できるときにいう。

もっと一般に、 体 $K$ 上の有限個の一変数多項式 $f_1,f_2,\dots,f_s$ が与えられたとき、$L$ がその分解体 であるとは、各 $f_j$ が $L$ で一次式の積に分解できるようなときにいう。 (これは実際には積 $f_1f_2\dots f_s$ の分解体ということと同じである。)

与えられた一変数多項式 $f$ にたいして、 その分解体は一意とは限らない。じっさい、 $L_1$ が $f$ の分解体なら、$L_1$ の拡大体はどれも $f$ の分解体である。

命題 5.2   $K$ 上の任意の一変数多項式 $f$ は分解体をもつ。すなわち、 ある体 $L$ で、$f$ が $L$ 上一次式の積に分解できるようなものが存在する。

上の命題を用いると、$L$ が $f$ の分解体であるとは、 $L$ を十分大きい体 $\Omega$ に埋め込んだ時に $f$ の $\Omega$ における $K$ 上の共役がすべて $L$ に 含まれているということと同値であるということがわかる。

定理 5.3   体 $K$ の拡大体 $L_0$ と、その拡大体 $L_1=K(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t)$ が与えられているとする。 $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t$ の $K$ 上の最小多項式を $f_1,f_2,\dots, f_t$ と置こう。 このときもし $L$ が $f_1,f_2,\dots, f_t$ の分解体ならば次のことが成り立つ。

中への $K$ -同型 $\sigma_0: L_0 \to L$ が任意に与えられたとき、 $\sigma_0$ の延長であるような中への同型 $\sigma: L_1\to L$ が存在する。

上の定理の条件は 「($L$ の十分大きな拡大体 $\Omega$ の中で,) $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t$ のすべての $K$ 上の ($\Omega$ 内での)共役が $L$ に属する」ということと同値である。

定義 5.4 (間に合わせ的)   体 $K$ とその上の一変数多項式 $f$ が与えられたとき、 $f$ の分解体 $\Omega$ が存在するのであった。 $\Omega$ の中での $f$ の根を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ と おくとき、 $K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ は明らかに $K$ の拡大体で $f$ の分解体のうち極小なものである。 これを $f$ の極小分解体(minimal splitting field)と呼ぼう。

上で「間に合わせ的」と書いたのは次のように「最小...」と呼ぶことが 普通だからである。(英語なら the が付くか否かの違いに過ぎない。)

命題 5.5   体 $K$ とその上の一変数多項式 $f$ が与えられたとき、 $f$ の極小分解体はすべて互いに $K$ -同型である。 したがってそれらをいちいち区別せずに最小分解体 (the minimal splitting field)と呼ぶ。

今回のまとめ:

一変数多項式はそれがどんなものであれ体を拡大すれば 一次式の積に分解できるということ、そのために必要な体はどれも 同型であることを学んだ。このことは今後の議論に重要な基礎を与える。

問題 5.1   $f(X)=X^4+X^3+X^2+X+1 (\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X])$ とおく。このとき、

1. $f$ は $X^5-1$ の因数であることを示しなさい。
2. $f$ のひとつの根を $\alpha$ と置くと、 $\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4$ も $f$ の根であることを示しなさい。
3. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の $f$ の最小分解体であることを 示しなさい。

問題 5.2   前問の $f$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元として既約であることを示しなさい。 (ヒント: $f$ が既約でなかったとして、 $f=gh$ と因数分解されたとする。 $g,h$ はともにモニックとして良い。前問の結果をもちいて、$g,h$ の定数項が また $f$ の根であることを示せ。その結果 $f$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上に 解を持つことにするが、これは $f$ の複素数体上の素因数分解の 結果に反する。($f$ は実数の根をもたない)。