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代数学III要約 No.4
今日のテーマ:
共役は昔は共軛と書いた。したがって、
この字は「きょうやく」と読むのが正しい。
このへんの事情については wikipedia の共役の項にも記述が見られる。
ネットも捨てたもんじゃない。
体
上の代数的数
を付け加えてできた体
の構造は、
実際には
の
上の最小多項式
によって完全に決まるのであった。
定義 4.1
体
の拡大体
から
体
の拡大体
への写像
が
中への
-同型であるとは、
が環準同型であって、
なおかつ
上で恒等写像に等しい時に言う。
言い換えると、
から
の中への
-同型とは環の準同型であって、
同時に
-線形写像でも
あるもののことである。
さらに、中への
-同型
が全射であるとき、
を単に
-同型と呼ぶ(このとき
は必然的に全単射である) 。
定義 4.3
上の同値な条件のひとつ(ゆえに、全部)が成り立つとき、
は
上
共役であるという。
問題 4.1
と
は
上共役ではあるが、
上共役ではないことを示しなさい。
(本問では
が無理数であることは証明なしに用いて良いことにする。)
問題 4.2
体
の拡大体
と、
の元
が
与えられているとする。
と
とが
上共役で、
と
とが
上共役ならば、
と
は
上共役であると
必ず言えるだろうか?
2010-10-22