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代数学III要約 No.3
今日のテーマ:
定義 3.1
の 拡大体
は
上のベクトル空間の構造を持つ。
そこで、
の
-ベクトル空間としての次元のことを
の
上の
拡大次数 といい、
で書き表す。
のとき、
は
の
有限次拡大であると言う。
次の命題は体の拡大次数の方程式論的な意味を明らかにする。
定理 3.4
体
と、その拡大体
が与えられているとする。
このとき、
の 元で、
上代数的な元同士の和、差、積、商はまた
上代数的である。つまり、
の元で
上代数的なものの全体
は体をなす。
補遺: 次のことは前回に述べるべきだったが、書いて置かなかったので
ここに改めて書いておくことにする。
(命題2.5の後あたりに配するのが妥当だったろう。)
問題 3.1
は
上代数的であることを示しなさい。
上の問題は間接的な解答でも良いわけだが、直接的に答える、
すなわち
の
上の最小多項式を実際に求めることもできる。例えば次のようにすれば良い。
2010-10-15