代数学III要約 No.2

今日のテーマ:

定義 2.1   体 $L$ の部分集合 $K$ が $L$ の部分体であるとは、$K$ 自身が $L$ の演算で体になっているときに言う。 また、このとき $L$ は $K$ の拡大体であるとも言う。

定義 2.2 (体に元を付け加えてできる体)   体 $L$ と、その部分体 $K$ , および $L$ の元 $\alpha$ が 与えられているとする。 このとき、$K$ と $\alpha$ とを含む $L$ の部分体のうち最小のものを $k(\alpha)$ と書き (丸括弧に注意)、 $K$ に $\alpha$ を付け加えてできる体と呼ぶ。

補題 2.3  

$$K(\alpha)=\{ \frac{ a(\alpha) } { b(\alpha) }; a,b \text{は $K$ 係数の多項式} \}$$

定義 2.4   体 $K$ は体 $L$ の部分体であるとする。 $\alpha\in L$ が $K$ 上の ある代数方程式

$$f(\alpha)=0 \qquad( f\in K[X], f\neq 0)$$

を満足するとき、 $\alpha$ は $K$ 上代数的であると呼ぶ。 また、このような $f$ のうち、次数が最小のものを $\alpha$ の 最小多項式と呼ぶ。

とくに断らない限り、最小多項式はモニックなものを選ぶのが普通である。

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ や、 体 $K$ 上の一変数多項式環 $K[X]$ はユークリッド環であったことを 思い出そう。これは簡単に言えばこれらの環上では 余りを許した意味での割り算が できることを意味している。

命題 2.5   ユークリッド整域 $R$ は PID である。すなわち、 $R$ の元 $p,q$ にたいして、その ある $a,b$ が存在して、

$$a p + b q =d$$ (E)

($d$ は $p,q$ の $R$ での最大公約数) が成り立つ。

(E)式のおかげで、 ユークリッド環(もっと一般に、PID)の剰余環 の割り算は 良い性質を持つ。これが今回の技術的なキモである。

命題 2.6   体 $k$ 上の 多項式 $p(X)$ と $q(X)$ が互いに素なら、 $R=k[X]/p(X)k[X]$ のなかでの $q(X)$ のクラス $\overline{q(X)}$ は可逆である。 とくに、$p$ が $k[X]$ のなかで既約ならば、 $R=k[X]/p(X)k[X]$ は体である。

上の命題で、$p$ が既約でなければ、 環 $R=k[X]/p(X)k[X]$ は体ではないことが容易に分かる。したがって、 $p$ が既約であることは $R$ が体であることの必要十分条件である。

上の命題と同様に、次のことも成り立つ。 (今回のテーマとは少しずれるが、 本講義全体のなかでは重要である。)

定理 2.7   素数 $p$ にたいして、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は体である。(この体を ${\mathbb{F}}_p$ と書く。)

そして、今回のメインはこちら:

定理 2.8   体 $K$ が体 $L$ の部分体であって、 $\alpha\in L$ が $K$ 上代数的であれば、

1. $K(\alpha)$ の任意の元は $\alpha$ の $K$ 係数の多項式で書くことができる。
2. $\alpha$ の最小多項式を $f$ とおくと、 $K(\alpha)$ は $L_1=K[X]/f(X)K[X]$ と同型である。
3. もっと詳しく言うと、環準同型 $\varphi: L_1\to L$ で、 $X$ のクラスを $\alpha$ に写すもの が(唯一つ)あって、$\varphi$ は $L_1$ と $K(\alpha)$ との同型を与える。 $K(\alpha)$ の任意の元は $\alpha$ の $K$ 係数の多項式で書くことができる。

上の定理は、$K$ 上代数的な数 $\alpha$ が どんな数かロクスッポ知らなくても、 その最小多項式が 分かってさえいれば剰余環のコトバで $K(\alpha)$ が理解できることを示している。

問題 2.1   $\alpha$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の方程式 $X^5-X+1=0$ の解であるとするとき

1. $\alpha$ の逆元を $\alpha$ の 4次以下の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 係数の多項式で表しなさい。
2. $1+\alpha^{2}$ の逆元を $\alpha$ の 4次以下の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 係数の多項式で表しなさい。