代数学II試験予想問題

• 持ち込みは他人の迷惑になるもの以外何でも可である。
• この予想問題と全く同じ問題は出ない。
• 知識のみの解答はほとんど0点に近いことを覚悟すること。 例えば下の問題15.1 の解答として「8と6とが互いに素ではないから」と書いても (その事自体は正しいが、)ほとんど点にはならない。

問題 15.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/48{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とは加群として同型ではないことを示しなさい。

問題 15.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/42{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とは加群として同型であることを示しなさい。

問題 15.3  

${\mathbb{C}}[X]$ -加群として ${\mathbb{C}}[X]/(X^2-1) \cong {\mathbb{C}}[X]/(X-1)\oplus {\mathbb{C}}[X]/(X+1)$ であることを示しなさい。

問題 15.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 加群 $M_1={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $M_2={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への準同型写像 $f: M_1 \to M_2$ を

$$f( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$

で定めて、 $N=M_2/f(M_1)$ とおく。 $M_2$ の元 $m$ の $N$ でのクラス(剰余類)を $[m]$ と 書こう。 このとき、

1. $M_2$ の元 $m$ で、 $[0]=[m]$ となるものの例を 5個挙げよ。
2. $M_2$ の元 $e_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $e_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ とは $N$ において同じクラスではない(すなわち、 $[e_1]\neq [e_2]$ である) ことを示しなさい。
3. (上級者向け) $N$ を巡回加群の直和として表現しなさい。