代数学II要約 No.11

今回は、行列のジョルダンの標準形について PID 上の加群の理論の立場から 概説しよう。つぎのような基本仮定を出発点とする。

基本仮定

$k$ は体であるとし、ある正の整数 $n$ について 行列 $L\in M_n(k)$ が与えられているとする。 このとき、一変数多項式環 $k[X]$ の $V=k^n$ への作用が

$$p(X). v= p(L) v$$

で定まるのであった。(例3.3)これにより、$V$ を $k[X]$ -加群と見よう。

$k[X]$ は PID であるから、一般論(命題9.7)により、 次の命題が成り立つことがわかる。

命題 11.1   基本仮定のもとで、 $V$ は $k[X]/(p(X)^e)$ ($p(X)$ は $k[X]$ の素元。$e$ は正の整数) の形の $k[X]$ -加群の直和である。

命題 11.2   $f(X)\in k[X]$ を

$$f(X)=c_d X^d + c_{d-1} X^{d-1} + c_{d-2} X^{d-2}+\dots + c_1 X + c_0$$

と書こう。 $g(X)\in k[X]$ の $k[X]/(f(X))$ におけるクラスを $[g]_f$ と書くことにする。 このとき、

1. $k[X]/(f(X))$ の基底として、
   $$\{b_l=[X^l]_f ; \qquad (l=0,1,2,\dots, d -1) \}$$
   が取れる。
2. 上の基底を用いると $X$ の作用は
   $$% latex2html id marker 1023X. b_l = \begin{cases} b_{l+1} ... ...s + c_1 b_{1} + c_0 b_0) & \text{($l=d-1$ のとき)} \end{cases}$$
   と書き下せる。

例 11.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]/(X^2+1)$ の基底として $b_0=[1]_{X^2+1}, b_1=[X]_{X^2+1}$ が取れる。 $X$ のこの基底への作用は、

$$X. b_0 = b_1$$

$$X. b_1 = - b_0$$

で与えられる。行列で表現すれば、

$$\begin{pmatrix} X.b_0 & X. b_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_0 & b_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

という具合である。

定義 11.4   体 $k$ が代数的閉体であるとは、$k$ 上の任意の(次数が $1$ 以上の) 一変数多項式 $p(X)$ が 一次式の積に分解するときに言う。

複素数体 ${\mathbb{C}}$ は代数的閉体であることが知られている。任意の体 $k$ に対して、 それを含むような最小の代数的閉体 $\bar k$ が存在することが 知られている。このような $\bar k$ のことを $k$ の代数的閉包 と呼ぶ。

以下、$k$ が代数的閉体のときを主に考える。このときには $k$ 上の一変数 既約多項式は一次式に限るから、次のことがわかる。

命題 11.5   基本仮定のもとで、さらに $k$ が代数的閉体であるとき、 $V$ は $k[X]/((X-c)^e)$ ($c\in k$ , $e\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ) の形の $k[X]$ -加群と同型である。

命題11.2のような基底を取れば、 $k[X]/(X-c)^e$ 上の $X$ の作用の表現を得ることができるが、$c$ だけずらすことによって、 さらに良い基底を取ることもできる。

命題 11.6  

1. $k[X]/((X-c)^e)$ の基底として、
   $$\{b_l=[(X-c)^l]_f ; \qquad (l=0,1,2,\dots, e -1) \}$$
   が取れる。
2. 上の基底を用いると $X$ の作用は
   $$% latex2html id marker 1102X. b_l = \begin{cases} c b_l +b... ...< e-1$ のとき)} \\ c b_l & \text{($l=e-1$ のとき)} \end{cases}$$
   と書き下せる。行列で書くと
   $$\begin{pmatrix} X.b_0 & X.b_1 & X.b_2 & \dots X.b_{e-1} \end{pmat... ... c & \\ & 1 & c & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & c \end{pmatrix}.$$
   もしくは、基底の順番を取り換えて、
   $$\begin{pmatrix} X.b_{e-1} & X.b_{e-2} & X.b_{e-3} & \dots X.b_{0}... ... \begin{pmatrix} b_{e-1} & b_{e-2} & b_{e-3} & \dots b_{0} \end{pmatrix}J_e(c)$$
   ただし $J_e(c)$ はジョルダン細胞と呼ばれる次のような行列である。
   $$J_e(c)= \begin{pmatrix} c & 1 \\ & c & 1 \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & c & 1 \\ & & & & c \end{pmatrix}.$$

系 11.7   代数的閉体 $k$ 上の行列 $L\in M_n(k)$ が与えられたとき、 うまい基底変換行列 $P\in {\operatorname{GL}}_n(k)$ をとれば、

$$P L P^{-1}= \begin{pmatrix} J_{e_1}(c_1)& \\ &J_{e_2}(c_2) \\ & &J_{e_2}(c_2) \\ & & &\ddots \\ & & & &J_{e_s}(c_s) \\ \end{pmatrix}$$

とジョルダン細胞の「直和」に分解される。

問題 11.1   $n=2$ で、

$$L= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

のとき、基本仮定のようにして $V={\mathbb{C}}^2$ を ${\mathbb{C}}[X]$ 加群と見よう。 このとき、 $V$ は $k[X]$ 上 $e_1={}^t (1\ 1)$ で生成されることを示しなさい。

問題 11.2   前問の仮定のもとで、 ${\mathbb{C}}[X]$ -加群の同型 ${\mathbb{C}}[X]/(X-2)(X-3) \cong V$ を作ってみせなさい。