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代数学II要約 No.3
第3回目の主題 :
-加群
において、
の元の
への作用はベクトル空間で言えば 「スカラー倍」に当たる訳だが、実際にはかなり感覚が異なる場合がある。
定義 3.1
(記号の確認) 環
の単位元を
と書くのであった。その二つの和
を
,
を
等と書く。
の
におけるマイナス元を
, その二つの和
を
等と書く。
例 3.2
( 「スカラー倍的な作用」の例)
-加群
に対して、
が成り立つ。
もっと一般に環
に対して、
等々が 成り立つ。
体
上のベクトル空間
を
-加群とみるときには、 「スカラー倍」を作用と考えるのであった。
例 3.3
体
上の一つの行列
を固定する。このとき、一変数 多項式環
の
への作用が
で定まる。
問題 3.1
の
への作用であって、
の作用が
の元のスカラー倍に 一致するようなものは、上に挙げたものに限ることを示しなさい。
定義 3.4
環
と群
が与えられたとき、
上の
の
群環
とは、 形式的な有限和の集合
に形式的に和、積を導入したものである。
(「
」 は「有限個の例外を除いて全ての
に対して」 という意味である。)
具体的には、和、積は次のように与えられる。
定義 3.5
体
が与えられているとする。群
の
上の
-次線形表現
とは、群準同型
の ことである。
命題 3.6
群
の
上の
-次線形表現
が与えられたとき、
の
への作用が
で定まる。
問題 3.2
5次巡回群
の上の
上の群環
の次の計算をしせよ。(答はできるだけ簡単にすること。)
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2010-04-20