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解析学 IA 試験問題
ちなみに
は次のような領域である。
横軸にだけ対数目盛をとると、こうなってきれいだ
(アタリマエダ):
結果については理学部二号棟6F 数学掲示板で行なう。採点等の処理は3日から一週間程度
かかる予定。掲示までは
成績についての質問には一切応じられない。
解答
(1)
(2)
したがって、その行列式は
である。
(3)
「二次近似を求めよ」という本問題の答としてはこれで充分である。
ただしもう少しだけキレイな書き方も以下に書いておこう。
第一項(定数項) は
の
での値であり、第二項(一次の項)は、
行列
により表現される。残念ながら、二次の項については、
それほど簡便な書き方はない。(強いて言えば、「テンソル算」で
書き表せる。)また、二次の項については今回の場合については上の形で
充分簡単であるので、
展開しても、しなくてもどちらでもよい。
なお、上の解答を見れば想像がつくように、(1) は(2)の
の列ベクトルを見れば
よい(逆に言えば、(2)の前半は(1)の答えを単に並べれば良い)し、
(3)の一次の項を取り出せば、(1)および(2)の前半が自動的に得られる。
(4)
変数変換で気をつけなければならないのは、
- 領域の変換 (
が
に。)
- 積分関数の変換(
が
に。)
- 測度の変換(
が
に。)
である。
と
が
で一対一に対応することは、
を用いて
の逆写像を構成することにより容易に示すことができる。
興味のある者はやってみるとよい。
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2009-07-31