解析学 IA No.9要約

逆写像定理。

定義 9.1  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ のベクトル $v=(v_1,v_2,\dots,v_m), w=(w_1,w_2,\dots,w_m)$ に対して 二つの内積を
   $$\langle v, w \rangle=\sum_{j=1}^m v_j w_j$$
   で定義する。
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ のベクトル $v$ のノルムを
   $$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{\langle v,v\rangle }$$
   で定義する。
3. ($v,w$ のこの講義で用いられる距離(ユークリッド距離)は $d(v,w)=\vert\vert v-w\vert\vert$ で定義するものと一致する。)
4. 行列 $P\in M_{l,m}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対し、その作用素ノルム を
   $$\vert\vert P\vert\vert=\sup_{\substa... ...{\mathbb{R}}$}^l\\ Vert\vert v\vert\vert\leq 1}} \vert\vert P\cdot v\vert\vert$$
   で定義する。

一般に、ベクトルや行列に対するノルムの定義はいくつもあり、 その時々に便利なものを用いるのが良い。ここでは横着して 上のもののみを考えることにする。

補題 9.1  

1. 内積は双線型である。
2. ベクトルに対してのノルム $v \mapsto \vert\vert v\vert\vert$ は ノルムの公理を満たす。 すなわち、
   1. $\forall v \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ $\vert\vert v\vert\vert\geq 0$ .
   2. $\vert\vert v\vert\vert=0 {\Leftrightarrow} v=0$ .
   3. $\forall v,w \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m \quad \vert\vert v+w\vert\vert\leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$ .
   4. $\forall c\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall v \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m \quad \vert\vert c v\vert\vert=\vert c\vert\cdot \vert\vert v\vert\vert$ .

3. 行列 $P$ に対して、その作用素ノルムは常に有限であり、 $P\mapsto \vert\vert P\vert\vert$ はノルムの公理を満たす。
4. 任意の行列 $P$ と(それと乗算可能なサイズを持つ)任意のベクトルに対して $\vert\vert P\cdot v\vert\vert \leq \vert\vert P\vert\vert\cdot \vert\vert v\vert\vert$ が成り立つ。

定理 9.1   $U$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の開集合であるとし、 $f: U \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ は $C^1$ 級であるとする。 (定義域と値域の次元が同じであることに注意。) $x_0\in U$ において、 $Df\vert _{x_0}$ が行列として可逆であると仮定し、 その逆行列を $L$ とおく。 正の実数 $r_0$ を次のような条件を満足するようにとる。

$$x \in B_0\overset{\operatorname{def}}{=}B_{r_0}(x_0) \implie... ...f(x_0)\vert\vert<\frac{1}{2 \vert\vert L\vert\vert} \end{cases}$$

$($ $f$ が $C^1$ 級だという仮定によりこのような $r_0$ は存在する。$)$ このとき、

1. $f$ は $B_0$ 上単射である。
2. $r_1= \frac{r_0}{2 \vert\vert L\vert\vert}$ , $B_1=B_{r_1}(f(x_0))$ とおくと、$B_1$ 上定義された $C^1$ 級関数 $g$ が存在して、
   $$f \circ g\vert _{B_1}=id_{B_1}$$
   がなりたつ。

上の定理の証明のキモは、以下の補題(Newton 法)である。 ただし、$Df_x$ の逆行列のところを、 $L$ で置き換える部分が、本物の Newton 法とは異なる。

補題 9.2   定理の仮定の下で、 次のような $B_1\times B_0$ 上の $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ 値関数を考えよう。

$$\varphi(y,x)=x+ L (y-f(x)) \qquad (x\in B_0, y\in B_1)$$

すると、 $\varphi$ の像は $B_0$ に入る。

補題 9.3   上の定理の仮定のもとで、上の補題の $\varphi$ を考えて、 次のような $B_1$ 上の関数列 $\{g_j\}_{j=1}^\infty$ を定義する。

$$\begin{cases} g_1(y)=x_0 & \text{\rm {(}定数関数\rm {)}} \\ g_{j+1}(y)=\varphi(y,g_j(y)) \end{cases}$$

すると $\{g_j\}$ はある関数 $g(x)$ に各点収束する。

定理 9.2  

$$f\circ g={\operatorname{id}}$$

のとき、

$$Dg\vert _y= (Df\vert _{g(y)})^{-1}$$

とくに、$f$ が $C^n$ 級なら、$g$ も $C^n$ 級である。

逆写像定理では、定義域と値域の次元が等しく、 なおかつ点 $x_0$ での $f$ の微分 $Df\vert _{x_0}$ が 可逆であることが適用のポイントである。 しかし、下のような考え方を用いて、 定義域と値域の次元が違う場合にも、逆関数の定理を応用することができる。 ここでは大まかな考え方のみ書いておこう。(詳細は乞御研究)

命題 9.3 (陰関数の定理)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{n+s} \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ が $C^\infty$ 級で、なおかつ線型写像

$$\hat f: (x,y)\to (f(x,y),y)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^{n+s} \quad (x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n, y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^s)$$

が $\operatorname{det}(D \hat f\vert _{(x_0,y_0)})\neq 0$ を満足したとする。 $c=f(x_0,y_0)$ とおこう。 このとき $\hat f$ の局所的な逆写像

$$\hat g:(x,y)\to (g(x,y),y) \quad (x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n, y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^s)$$

が存在する。 すなわち、 $f(g(x,y),y)=x$ が $(c,y_0)$ に近いすべての $x,y$ に対して成り立つ。 とくに、 $h(y)=g(c,y)$ は

$$f(h(y),y)=c$$

をすべての $y$ について満足する。これは、方程式 $f(x,y)=c$ を $y$ について 解いたことに相当する(陰関数)。

逆写像の定理や陰関数の定理は微分可能多様体の 理論(とくに埋め込みや沈め込みの議論、特異点の議論など)において基本的になる。

※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。)

問題 9.1  

$$f: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x^3 -y^2 \\ y \end{pmatrix}$$

なる(二変数ベクトル値)関数の $(a,b)$ における微分 $Df\vert _{(a,b)}$ を もとめよ。 $\operatorname{det}(Df\vert _{(a,b)})=0$ となるのはいつだろうか? (つまり、$(a,b)$ が どのような値のときか?)

問題 9.2   前問の $f$ を命題9.3 の $\hat f$ とみて (つまり $f(x,y)=x^3-y^2$ とみて)命題9.3にあるように逆写像定理を 適用すると、 どのような陰関数を えることができるだろうか?すなわち、どのような方程式を満足するような 関数 $h$ を得ることができるだろうか?