解析学 IA No.5要約

《合成関数の微分・連鎖律》

(全)微分を「一次近似」としてとらえると、 合成関数の微分は大変やさしい。

定理 5.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ の開集合 $U$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への写像 $f$ と、$f(U)$ を部分集合として 含む開集合 $V$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ への写像 $g$ が与えられていたとする。 このとき、もし $f$ が点 $a\in U$ で全微分可能で、 なおかつ $g$ が点 $b=f(a)$ で全微分可能ならば、 合成関数 $g\circ f$ も $a$ で全微分可能であって、

$$D(g\circ f)_a= (D g)_{f(a)}\cdot (D f) _a$$

(``$\cdot$ " は行列の積)が成り立つ。

証明. $(D f)_a=L$ , $(D g)_{b}=M$ と書くと、

$$f(a+v)=f(a)+L v + o(\vert\vert v\vert\vert)\quad (=b+L v +o(\vert\vert v\vert\vert))$$

$$g(b+w)=g(b)+M w + o(\vert\vert w\vert\vert).$$

このことから、

$$g(f(a+v))=g(b+ L v +o(\vert\vert v\vert\vert))$$

$$= g(b)+ M\cdot (L v + o(\vert\vert v\vert\vert)) + o(\vert\vert L v + o(\vert\vert v\vert\vert)\vert\vert)$$

$$= g(f(a))+ M\cdot L v + o(\vert\vert v\vert\vert))$$

がわかる。 $\qedsymbol$

全微分の行列成分は偏微分係数であったことを思い出すと、 次の系が得られる。

系 5.2 (``定理4.6, 定理4.7'')   上の定理の状況の下で、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l,$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m,$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の座標系を それぞれ $(x_1,x_2,\dots,x_l)$ , $(y_1,y_2,\dots,y_m)$ , $(z_1,z_2,\dots,z_n)$ として、$f,g$ を成分で表示すると、

$$\left.\frac{\partial (g\circ f)_i} {\partial x_k}\right \vert _{x... ... \vert _{y=f(b)} \left. \frac{\partial f_ j} {\partial x_k}\right\vert _{x=a}$$

例 5.1  

$$f: \mbox{${\mathbb{R}}$} ^2 \ni (u,v) \mapsto (u, u+v^3) \in \mbox{${\mathbb{R}}$} ^2$$

$$g: \mbox{${\mathbb{R}}$} ^2 \ni (x,y) \mapsto x^3 y \in \mbox{${\mathbb{R}}$}$$

を考えると、

$$(Df)_{(a,b)}= \left . \begin{pmatrix}1 &1 0 & 3 v^2 \end{pmatrix} \right \vert _{(u,v)=(a,b)} = \begin{pmatrix}1 &0 1 & 3 b^2 \end{pmatrix}$$

$$(Dg)_{(x_0,y_0)}= \left . \begin{pmatrix}3 x^2 y & x^3 \end{pmatr... ...ight \vert _{(x,y)=(x_0,y_0)} =\begin{pmatrix}3 x_0^2 y_0 & x_0^3 \end{pmatrix}$$

とくに、

$$(Dg)_{f(a,b)}= =\begin{pmatrix}3 a^2 (a+b^3) & a^3 \end{pmatrix}$$

とくに、

他方で、

$$(g\circ f)(u,v)=u^3 (u+v^3)$$

であるから、

$$(D(g\circ f))_{(a,b)}= \begin{pmatrix} 4 a^3 +3 a^3 b^3& 3 a^3 b^2 \end{pmatrix}$$

であって、簡単な行列算により、この場合に定理が実際に正しいことを 確かめられる。

変数の数 $l,m,n$ を変えて、上の系をいろいろ書き換えてみると良い。 ``連鎖律''の感じが掴めるだろう。連鎖律は、変数変換を考える際に特に重要になる。

定義 5.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ の開集合 $U$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への写像 $f$ の 偏微分係数

$$\frac{\partial f}{ \partial x_j}\vert _{x=a}$$

を $a$ の関数とみたものを、$f$ の $x_j$ での 偏導関数とよぶ。

上の定義では、$f$ としてはベクトル値を許して記述した。 下の定義でも $f$ をベクトルのままで扱っても良いのであるが、 あえて成分で書いておくことにする。

定義 5.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ の開集合 $U$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への写像 $f$ が $U$ において $C^1$ -級であるとは, $f$ の全ての成分の全ての偏導関数

$$% latex2html id marker 1177\left\{ \frac{\partial f_i}{ \par... ...ligned} &i=1,2,\dots,m\\ & j=1,2,\dots,l \end{aligned}\right \}$$

が存在して、しかも $a\in U$ について連続であるときにいう。

上の定義は、確かめやすいが、偏微分を用いているので 「偏った」感じである。

定理 5.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ の開集合 $U$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への写像 $f$ について、 次は同値である。

1. $f$ は上の定義の意味で $C^1$ 級である。
2. $f$ は $U$ の各点で微分可能で、 かつ全微分 $Df\vert _{x=a}$ は $a$ について($U$ 上の $M_{m,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ -値関数として) 連続である。

証明には次の補題を(連続して)用いると良い。

補題 5.1   定理の仮定の下で、 $x\in U$ かつ $B_r(x)\subset U$ とする。 $f$ が $U$ で $C^1$ 級ならば、

$$f(x+h_1 e_1 )=f(x)+h_1 \int_0^1 \frac{\partial f(x+ t_1 h_1 e_1)}{\partial x_1} d t_1 \qquad ( h_1\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$, \vert h_1\vert<r )$$

がなりたつ。ここに、 $e_1=(1,0,0,\dots,0)$ は基本ベクトルである。 (同様の表示が他の軸方向についても成り立つ。)

オット、次の定理も必要になる。証明は位相空間論の講義を参照のこと

定理 5.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の コンパクト集合 $K$ 上の $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ -値連続関数 $f$ は一様連続である。 すなわち、

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \forall x,\forall y \in K (d(x,y) <\delta \implies d(f(x),f(y))<\epsilon)$$

※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。)

問題 5.1   $f(x,y,z)=z\sin(x y)$ の $x,y,z$ に関する偏導関数をそれぞれ求めよ。