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解析学 IA No.2要約
《多変数関数の連続性と極限》
定義 2.1
(``4.1.3'')
の部分集合
上で定義された関数
の、点
での
極限
が
であるとは、
を満たすときに言う。
この定義は一変数の場合と形式的には同じであるが、一変数の場合と違って 多変数の場合には「点への近づき方」がいろいろあるので注意が必要である。
補題 2.1
上の定義で、
の点列
で、
に収束するものがあったと仮定する。 このとき、
とくに、 極限
は一意的である。
定義 2.2
上の一意的な極限を
と書き表す。
例 2.1
極限が存在しない例。
は原点
において、極限を持たない。実際、直線
に沿って
を 0 に近づけると
は
に近づき、
によってその値が異なる。
は 前の例の
に
を 代入したに過ぎないので、 原点
において、極限を持たないことがわかる。 ただし、前の例のような「直線に沿って近づく」分析だけでは 極限の有無を判定できないことに注意。
定義 2.3
(``4.1.4'')
の部分集合
上で定義された関数
が点
で
連続
であるとは、
を満たすときに言う。(考えている定義域
が明らかな場合には
の部分は 省略することが多い。)
※レポート問題
(期限:次の講義の終了時まで。)
問題 2.1
は存在するだろうか。理由を挙げて答えなさい。 (ヒント:
と
の距離を
とおくと、
となる
が存在して、
.
を用いて上の極限を表現してみよ。)
2009-04-14