Next: About this document ...
解析学 IA No.1要約
《多変数関数》
本講義では多変数の関数の扱い方、とくに極限と微分について講述する。
教科書には二変数関数を中心に書かれているが、考え方は変数が増えても同じである。
定義 1.1
一般に, 正の整数
に対して、
を、(実)
次元空間と呼ぶ。(2次元空間のことを平面、
3次元空間のことを単に空間と呼ぶ。)
の元を(親しみをこめて)
点とよぶ。
高次元の空間について、非日常的だと思う人もいるかも知れないが、
そうではない。それらは変数の空間として大事な意味を持つ。
変数を多くもつ関数などというのはいくらでも出会うだろう。
一般に、
全体で関数が定義されていることは少なく、
の部分集合
のみで定義される場合がほとんどである。
ところが極限、微分を論じる時には、考えている集合
の
「ハジッコ」での話がややこしい場合がある。
そこで、ハジッコがない集合には特別な名前をつけて、それを
愛用するのである。
上の命題の証明には内積の概念を用いるのが便利である。
補題 1.1
にたいして、
それらの内積を
で定義する。
このとき、
-
は
について双線型である。
-
は非負の実数である。その平方根を
と書く。
-
,
.
-
.
定義 1.3
の部分集合
が
開集合であるとは
の任意の点
にたいして、 ある正の実数
が存在して、
であるときにいう。一行で書くと:
またもや
と
がでてきた。この講義でも大事になるので
使い方をマスターして頂きたい。とくに、
と
の登場の順番を気にして
欲しい。
定義 1.4
の点列
が点
に
収束するとは、
のときにいう。
が
に収束するとき、
とか、
と書く。
つまり点列の極限を数(距離)の極限に帰着させているのである。
数の極限は
-
法を用いて定義されることを思い出しておくこと。
補題 1.2
点列の収束は、その各成分が収束することと同値である。
定義 1.5
の部分集合
が
閉集合であるとは、「
に属する点からなる
点列
が
の点
に収束するなら、
必ず
も
に属する」ときに言う。
定義 1.6
の部分集合
が
領域 であるとは、
内の任意の二点
が
内の折れ線で結べるときに言う。
定義 1.7
の部分集合
が
有界 であるとは、
ある
と
ある正の実数
があって、
が
のなかにすっぽりと
部分集合として含まれてしまうときに言う。
補題 1.3
の部分集合
に対して、次の二条件は同値である。
-
は閉集合である。
-
の
での補集合
は開集合である。
下の例のように、「開集合」「閉集合」は
「どの集合のなかで考えるか」が大切である
定義 1.8
写像(関数)
が与えられているとき、
のことを
の
定義域(もしくは始集合),
のことを
の
終集合
のことを
の
値域とよぶのであった。
の
部分集合
のことを
の
グラフとよぶ。
※レポート問題
(期限:次の講義の終了時まで。)
問題 1.1
平面
の部分集合
(一点からなる集合)は
開集合ではないことを示しなさい。
Next: About this document ...
2009-04-06