は 上の連続関数に拡張されて ならば単調増加、 ならば単調減少、 なら定数関数になる。 におけるこの関数の値を と書く。
定義 5.5 の を思い出しておこう。
逆関数の定理により、 は の単調増加連続関数であることが わかる。
数学では断らない限り対数の底としては をとり、 自然対数を考えるのが普通である。
上の定理は の の挙動を記述するものだが、 のときの挙動も大事である。
を証明せよ。(この講義でいままでに得た知識、定理の中のどれを用いても 構わない。)
問題10.2 解答。
において が連続であることを示そう。 任意の にたいして、
とおく。
なる任意の に対して、 がなりたつことを示そう。 そのために、 とおく。一方で、 であり、 他方で から、
かつ | (*) | |
(**) |
(A) |
であって、 なおかつ正の数の分数においては、分母が大きくなるほどその値は 小さくなるから、
(B) |
(C) |
である。 (A),(B),(C)をつなぎあわせると、めでたく (任意の に対して、 を上のように定めれば なる任意の に対して)
がなりたつことがわかった。
注意
上の解答で用いた三角不等式は、講義で述べたもの
(△) |
を得る。あとは適当に移項すれば良い。不等式の向きに注意。 うろ覚えで間違えた不等式を書かないように、とくに始めの間は 基本の三角不等式(△)をしっかり覚えてあとはそれを上のように 応用することを考えた方が良い。