をみたすときにいう。
の逆関数
が存在する。 さらに、この は連続で、かつ狭義単調増加である。
と書く。 つまり は を満たす唯一の正の実数である。
がなりたつ。
ゆえに、 は 乗して になる実数である。 そのような実数は唯一つ、すなわち しかないのであるから、 両者は等しい。
がなりたつ。
問題9.1 解答。
(☆) |
and | (★) |
と定める。 どんな をとってきても、 より大きな整数 が存在する (アルキメデスの原理)。
この にたいし、
とおけば、
なのに、
で、とくに
である。
上の状況をゲームで表現することができる。 (★) において、 記号のついている変数を「味方側」の変数、 記号のついているほうを「敵側」の変数と見ることにしよう。 味方側の変数はこちらで決めれれば良い(決めるべきである)のにたいし、 敵側の変数はこちらから決めることはできない。 結論 が最終的に成立することを「味方の勝ち」 と呼べば、 上の証明は味方が必勝である(ような味方の戦略がある)ことを表している。
敵側 | 味方側 |
こちらは として を選択した。対する敵側 は意外な一手。これを見たわたしは を慎重に選び、 勝利に結びつけたのであった。 |
(★)の攻守を入れ換えた(敵側から眺めた)ものが(☆)である。 例えば の における連続性をしめすのは、以下のようなゲーム戦略を考えているのと同じである。
敵側 | 味方側 |
敵側 は意外な一手。対するこちらはそれを見て 冷静に を選択。これが必殺の一撃であった。 以下は敵側 をいろいろと試みて反撃するも、後の祭りであった。 |
上を見ても分かるように、(☆),(★)はそれぞれ次のように言い換えても良い。
(☆ ) |
(★ ) |