上の共通の定義域を持つ(実数値もしくはベクトル値) 関数 が与えられているとする。 ラグランジュの未定乗数法は、 を満たすような のうちで の停留値を議論するのに使われる。 なる で が停留するとしよう。 を満たす の全体は
なる空間(接線ならぬ「接線形多様体」)で近似される。この空間上 が停留するということは、
ということである。前問よりこれは をみたす行列 が存在することと同値である。行列 を「未定乗数」としてあらたな 変数に組み込むのが素晴しいアイディアである。 が、理論は二の次である。(だったら書くな。) 未定乗数法の最大の良さはその使い勝手の良さにある。以下の数問を参照。
を考えて、 の共通零点をもとめ、 続いて の与条件下での停留点および停留値をもとめよ。
がなりたつことを示しなさい。
がなりたつことを示せば良い。 とおけば、
あとは の連続性に着目すれば良い。)
とおくと、 は行列ノルムに関してコーシー列であることを示しなさい。
で与えられることを示しなさい。
で与えられることを示しなさい。