解析学 IA演習 No.6

問題 6.1   $n,m$ は 0 以上の整数とする。 二変数関数 $f(x,y)=x^n y^m$ にたいして、 二階偏導関数 $f_{xy}(=(f_x)_y)$ , $f_{y x}(=(f_y)_x)$ をそれぞれもとめよ。 (但し $x^0$ は ($x$ が 0 であるかどうかに関係なく) $1$ であると 本問では約束しておく。)

問題 6.2   二変数関数 $f(x,y)=\sin(xy^2)$ にたいして、 二階偏導関数 $f_{xy}(=(f_x)_y)$ , $f_{y x}(=(f_y)_x)$ をそれぞれもとめよ。

問題 6.3 (各1)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を

$$% latex2html id marker 988f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy (... ...q (0,0)$ のとき}\\ 0 & \text{$(x,y)=(0,0)$ のとき} \end{cases}$$

で定義する。このとき,

1. $f$ は $(0,0)$ で連続であることを証明しなさい。
2. $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ が、 $b\neq 0$ をみたすとき、$f_x(a,b)$ を求めなさい。
3. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ について、 $f_x(a,0)$ を求め、つづけて(前問と併せて) $f_x(0,b)$ を全ての $b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ について求めなさい。
4. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ について、 $f_y(a,0)$ を求めなさい。
5. $f_{x y}(0,0)(=(f_x)_y(0,0))$ と $(f_y)_x(0,0)$ とをそれぞれ求め、 両者が等しいか確認しなさい。

補題 6.1 (絶対積分評価)   閉区間上の(ベクトル値)関数

$$g:[a,b] \to$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^m$$

が区分的に連続(すなわち、$[a,b]$ の有限分割が存在してそのそれぞれの区間で連続) であるとき、

$$\vert\vert\int_a^b g(x) d x\vert\vert \leq \int_a^b \vert\vert g(x)\vert\vert d x$$

問題 6.4 (各1)  

1. 定数関数 $g(x)=v$ に対して上の補題を証明しなさい。
2. $v_1,v_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ と $a_1\in [a,b]$ が与えられていて、
   $$g(x)= \begin{cases} v_1 &\text{ if }x \in [a,a_1] \\ v_2 &\text{ if }x \in (a_1,b] \end{cases}$$
   で定まるような関数 $g$ に対して、上の補題を証明しなさい。
3. 一般の 区分的に定数であるような関数に対して、上の補題を証明しなさい。

一般の区分的に連続な関数については、 上の問題の極限として補題が証明される。 以下の問題では、とくに断らない限り、絶対積分評価を用いて良い。

問題 6.5 (各1)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を

$$f(x)= \begin{pmatrix} \cos(x)\\ \sin(x) \end{pmatrix}$$

で定義する。このとき、

1. $f(x)= f(0)+ x\int_0^1 g(t x) d t$ を満たすような $g$ を一つ求めなさい。 (以下本問では $g$ といえばこの関数をさす。)
2. $\vert\vert f(x)-f(0)\vert\vert \leq \vert x\vert$ が任意の $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ について成り立つことを証明しなさい。
3. $\vert\vert g(x)-g(0)\vert\vert \leq \vert x\vert$ が任意の $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ について成り立つことを証明しなさい。
4. $g(x)-g(0)=\int_0^1 h(s x) d s$ を満たすような $h$ を一つ求めなさい。
5. $f$ の 0 での二次近似を求めなさい。すなわち、
   $$f(x)=v_0+ x v_1 + x^2 v_2 + o(\vert x^2\vert)$$
   なる $v_0,v_1,v_2\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を求めなさい。

問題 6.6 (各1)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を

$$f( \begin{pmatrix} r\\ \theta \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} e^r\cos(\theta)\\ e^r \sin(\theta) \end{pmatrix}$$

で定義する。このとき、

1. $$f( \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatri... ...\\ \theta \end{pmatrix} ) d t \cdot \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}$$
   を満たすような 二変数 $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ 値関数 $g$ を一つ求めなさい。

2. $$\vert\vert f( \begin{pmatrix} r \\ ... ...egin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})\vert\vert \leq \vert\frac{e^r-1}{r} \vert$$
   が任意の $(r,\theta)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ について成り立つことを証明しなさい。 ただし、$r=0$ のときには 右辺の値は 0 と約束する。
3. 一階偏導関数 $f_r, f_\theta$ をそれぞれ求めよ。
4. 二階偏導関数 $f_{r r}, f_{r \theta}, f_{\theta \theta}$ を それぞれ求めよ。
5. $f$ の 0 での一次近似を求めなさい。 すなわち、
   $$f( \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}) = v_0 + v_{10} r +... ...1} \theta + o(\vert\vert \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}\vert\vert)$$
   をみたす $v_0,v_{10},v_{01}$ を求めなさい。
6. $f$ の 0 での二次近似を求めなさい。 (その定義は類推するか、講義を参照)