解析学 IA演習 No.4

問題 4.1 (各1(但し順に解くこと))   $f(x,y)=x^2y^3$ にたいして、

1. $$f_x(1,2)(=\frac{\partial f}{\partial x}\vert _{(1,2)}) ,\quad f_y(1,2)(=\frac{\partial f}{\partial y}\vert _{(1,2)})$$
   をそれぞれ求めなさい。
2. $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ に対して
   $$\frac{\partial f}{\partial x}\vert _{(a,b))} ,\quad \frac{\partial f}{\partial y}\vert _{(a,b)}$$
   をそれぞれ求めなさい。
3. 全微分 $d f\vert _{(a,b)}$ を定義にしたがって求めなさい。

問題 4.2 (各1)   問題 4.1 の(2)と(3)とを $f(x,y)=\sin(x y)$ に対して繰り返しなさい。

問題 4.3 (各1)   問題 4.1 の(2)と(3)とを $f(x,y)=x^y$ (定義域は $\{(x,y); x>0 ,y>0\}$ ) に対して繰り返しなさい。

問題 4.4 (各1)   問題 4.1 の(2)と(3)とを $f(x,y)=\sqrt{y}$ (定義域は $\{(x,y); x>0 ,y>0\}$ ) に対して繰り返しなさい。

問題 4.5 (各1)   問題 4.1 の(2)と(3)とを $f(x,y)=\arctan(y/x)$ (定義域は $\{(x,y); x\neq 0 \}$ ) に対して繰り返しなさい。

問題 4.6  

$$f \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x^2+y^2\\ x y\\ x \end{pmatrix}$$

に対して、 $D f\vert _{(1,2)}$ を求めなさい。 すなわち、

$$f \begin{pmatrix} 1+h\\ 2+k \end{pma... ... 2 \end{pmatrix}+ L \begin{pmatrix} h\\ k \end{pmatrix}+ o (\sqrt{h^2+k^2})$$

をみたす行列 $L$ を求めなさい。

問題 4.7  

$$f \begin{pmatrix} r\\ \theta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r \cos(\theta)\\ r \sin(\theta) \end{pmatrix}$$

と $(R,t)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ に対して、 $D f\vert _{(R,t)}$ を求めなさい。

問題 4.8  

$$g \begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt{x^2+y^2}\\ \arctan(y/x) \end{pmatrix}$$

と $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \quad (a\neq 0)$ に対して、 $D f\vert _{(a,b)}$ を求めなさい。