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解析学 IA演習 No.1
心構え:
とくに断らない限り、各問題には理由をあげて答えること。
問題に図形がでてきた場合には、できる限りその概形を描くこと。
注意書きがないものは各問1点。3点で合格。
問題 1.1
三角不等式を用いて、任意の
にたいして、
が成り立つことを示しなさい。
問題 1.2
(各1点) つぎの
の部分集合はそれぞれ
の開集合だろうか?
.
かつ
.
かつ
.
.
.
.
.
次の問題では、閉集合は「補集合が開集合である」ことで定義することに する。(その定義を用いて解くこと)
問題 1.3
(各1点) つぎの
の部分集合はそれぞれ
の閉集合だろうか?
.
かつ
.
かつ
.
.
.
.
.
問題 1.4
の開球
の任意の二点は
内の線分で結べることを 示しなさい。別の言い方をすると:
内の任意の二点
にたいして、
を結ぶ線分の上の任意の点
は
に属することを示しなさい。
問題 1.5
(各1)
の部分集合
を
に対して
は 開集合だろうか?
は閉集合だろうか?
の任意の二点は
内の線分で結ぶことができるだろうか?
の任意の二点は
内の折れ線で結ぶことができるだろうか?
定義 1.1
の元の列
が
コーシー列
であるとは、
が成り立つときにいう。
問題 1.6
(各1。ただし順に解くこと)
の元の列
がコーシー列であるとする。
と成分表示したとき、
第一成分の列
は実数のコーシー列で あることを示しなさい。
ある
があって、
は
に収束することを しめしなさい。
問題 1.7
(各1) つぎの各集合は
の部分集合として 有界であろうか。(本問については各集合の概形は描かなくても良い。)
.
問題 1.8
(各1。但し順に解くこと)
とおくとき、
は
に収束しないことを示しなさい。
は なにかある点に収束するだろうか?
は 収束する部分列を持つだろうか?
問題 1.9
を
で定めたとき、
のグラフ
の概形を描きなさい。
問題 1.10
を
で定めたとき、
のグラフ
の概形を描きなさい。
問題 1.11
前問の
の像は閉集合だろうか?
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2009-04-06