複素数と論理(学問基礎数学コース演習) No.4

前回までに、

任意の複素数複素数 $z ,w$ にたいして、 $\overline{z w }=\overline{z } \cdot \overline{w}$ がなりたつ

ということを証明した。

これは、

$$\overline{(1+\sqrt{-1})\cdot (2+4\sqrt{-1})} =\overline{1+\sqrt{-1}} \cdot \overline{2+4\sqrt{-1}}$$

$$\overline{(2+3\sqrt{-1})\cdot (1+\pi\sqrt{-1})} =\overline{2+3\sqrt{-1}} \cdot \overline{1+\pi\sqrt{-1}}$$

$$\overline{(\sqrt{2}+\sqrt{-1})\cdot (5+\sqrt{-1})} =\overline{\sqrt{2}+\sqrt{-1}} \cdot \overline{5+\sqrt{-1}}$$

$$\dots$$

を全てまとめて証明したことと同じである。このように、 文字を用いていろいろな場合を ひっくるめて証明してしまうと効率的に議論を運ぶことができる。 「任意の複素数 $z ,w$ に対して」ということを式で表現するためには $\forall$ という記号をもちいて、

$$\forall z \in {\mathbb{C}}\forall w \in {\mathbb{C}}\quad ( \overline{z w }=\overline{z } \cdot \overline{w})$$

とか、

$$\overline{z w }=\overline{z } \cdot \overline{w} \quad (\forall z \in {\mathbb{C}}\forall w \in {\mathbb{C}})$$ (☆)

と書く。

これが正しいということは、「水の洩れるような穴がない」すなわち、

$$\overline{z w }\neq \overline{z } \cdot \overline{w} \quad (\exists z \in {\mathbb{C}}\exists w \in {\mathbb{C}})$$ (★)

のようなことが起こらない、ということである。 (★) と (☆) は、互いに一方の否定である。相手が間違っている ということを示すには相手の主張の否定を証明することになる。

$\forall$ と $\exists$ の順番(変数の登場順序)にも注意しよう。

$$\forall z \in {\mathbb{C}}\setminus \{0\} \exists w\in {\mathbb{C}}\quad (z w=1)$$

は正しい命題であるが、

$$\exists w \in {\mathbb{C}}\forall z \in {\mathbb{C}}\setminus \{0\} \quad ( z w=1)$$

はまったく正しくない命題である。

$\forall$ や $\exists$ を含むような命題の否定命題を作るのは たいへん簡単な規則があることにも注意しよう。

たとえば、$S$ は数の集合であるとして、

$$\forall x \in S \exists y \in S \quad (2 y =x)$$ (AS)

の否定は

$$\exists x \in S \forall y \in S \quad (2 y \neq x)$$ (BS)

であることを、確かめて頂きたい。

例題 4.1   $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のときと $S=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のときのそれぞれに対して、(AS) と (BS) のどちらが正しいか、考えてみなさい。

定義 4.1   0 でない複素数 $z$ と、実軸の正の部分のなす角を $z$ の偏角といい、 $\arg(z)$ で書き表す。

偏角は一意には定まらない、ということに注意しよう。$\theta$ が $z$ の 偏角なら、 $\theta + 2 \pi$ もそうである。 すなわち、$z$ の偏角の全体は

$$\theta+ 2\pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

という集合をなすことが分かる。 そこで、偏角は $0\leq \arg(z) < 2 \pi$ の範囲で選ぶ (もしくは $-\pi\leq \arg(z) < \pi$ の範囲で選ぶ) ということが良く行われるが、これはいつもそうしなければならない というわけではない。

定理 4.1   複素数 $z$ , $w$ に対して、

1. $\vert zw\vert=\vert z\vert \cdot \vert w\vert$
2. $z ,w$ がどちらも 0 でないとき、 $\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$
3. $z ,w$ がどちらも 0 でないとき、 $\arg(z/w)=\arg(z)-\arg(w)$

が成り立つ。

補題 4.1   偏角が $\theta$ であるような複素数 $z$ は

$$z=\vert z\vert\left(\cos(\theta)+\sin(\theta) \sqrt{-1} \right )$$

と書ける。(これを $z$ の 極表示 という。)

とくに、

定理 4.2   任意の正の整数 $n$ にたいして、

$$z^n=1$$

をみたす複素数がちょうど $n$ 個あって、それらは

$$\cos(\frac{2 \pi k}{n}) +\sqrt{-1}\sin(\frac{2 \pi k}{n}) \qquad (k=0,1,2,\dots,n-1)$$

である。これらは $1$ の $n$ 乗根と呼ばれる。

問題 4.1   複素数平面 ${\mathbb{C}}$ 上にあなたの好きな一点 $z$ (ただし、0 や $1$ とは異なるもの)を とり、 0 , $z$ , $-\omega z$ をプロットして線分で結んでみなさい。 どんな図形ができるでしょうか。

ただし、

$$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2} \left( =(-\frac{1}{2})+(\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt{-1} \right)$$

とします。