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代数学演習 I 問題 No.8
今回(No.8)は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。
問題 8.2
有理数体
の部分集合
は
の部分環になることを示しなさい。
問題 8.5
環
のイデアル
と変数
について、次の同型を示しなさい。
問題 8.6
環
の部分環
と
のイデアル
について、
は、
の部分環となることを示しなさい。
問題 8.7
環
の部分環
と
のイデアル
について、
が成り立てば、
となることを示しなさい。
問題 8.8
環準同型
について、
が
のイデアルであれば、
は
のイデアルとなることを示しなさい。
問題 8.9
環準同型
について、
が
のイデアルのとき、
は
のイデアルとなりますか?(ならなければ反例を挙げてください。)
が全射ならどうですか?
問題 8.10
の元をすべて書き並べて、
以外の元の逆元をそれぞれ求めなさい。
問題 8.11
を体とします。このとき同型
を示しなさい。
問題 8.12
環
とその部分環
とについて、
が
の素イデアルならば、
は
の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか?
問題 8.13
環
のイデアルに
について、
を
と略記します。
も
のイデアルで、
となれば、
となることを示しなさい。
問題 8.15
実数体
上の多項式
が環
で既約となる条件は、
であることを示しなさい。
問題 8.16
体
上の二次式
(
) が既約かどうかをそれぞれの
について調べなさい。
問題 8.17
を
で割った余りを求めなさい。
問題 8.18
自然数
が与えられたとします。次の関係式を満たす
を一組見つけなさい。
以下は初等整数論からの補遺です。
問題 8.19
正の整数
の最大公約数が
であるための必要十分条件は、
を満たす 整数
が存在することである。これを示しなさい。
問題 8.20 (この問題に限っては前問が解けている、いないに拘わらず
その結果を使ってよい。(いずれにせよ講義でやるから。)
)
前問を用いて、
が互いに素ならば、
と
も互いに素であることを示しなさい。
問題 8.21
前問を用いて、
が互いに素ならば、
と
も互いに素であることを示しなさい。
問題 8.22
前問をもちいて、
は無理数であることを証明しなさい。ただし、
素因数分解の一意性の知識を用いないこと。
問題 8.23
前問と同じ前提条件で、
一般に、平方数でない(つまり、
の元ではない)整数
に
たいして、
は無理数であることを証明しなさい。
問題 8.24
整数係数の多項式
について、
の、 0
でない有理根
があったとする。
すなわち、
とする。
を既約分数
と書いたとき、
-
の分子
は
の定数項
の約数であることを示しなさい。
-
の分母
は
の最高次の係数
の約数であることを示しなさい。
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2008-11-28