代数学演習 I 問題 No.5

問題 5.1 (各1)   $I$ を ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルとします。この時、

1. $a,b$ が $I$ の元で、$a$ が正の数ならば、$b$ を $a$ で割った余り $r$ も $I$ の元であることを示しなさい。
2. $I=0$ のときを除くと、$I$ の元の中で正で最小のものが存在します。これを $a_0$ とおくと、$I$ の任意の元は $a_0$ で割り切れることを示しなさい。
3. $I=a_0 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ であることを示しなさい。

問題 5.2 (各1)   $I$ を ${\mathbb{C}}[X]$ のイデアルとします。この時、

1. $f,g$ が $I$ の元で、$f$ が 0 でないならば、$g$ を $f$ で割った余り $r$ も $I$ の元であることを示しなさい。
2. $I=0$ のときを除くと、$I$ の元の中で次数が最小のものが存在します。これを $f_0$ とおくと、$I$ の任意の元は $f_0$ で割り切れることを示しなさい。
3. $I=f_0 {\mathbb{C}}[X]$ であることを示しなさい。

問題 5.3 (各1)  

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群は全て ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであることを示しなさい。
2. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群をすべて求めなさい。
3. $({\mathbb{C}}[X],+)$ の部分群で、 ${\mathbb{C}}[X]$ のイデアルではないものの例を挙げなさい。

問題 5.4   $a$ を複素数とします。このとき、

1. 一変数多項式 $f(X)$ を $X-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ であることを示しなさい。
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X-a){\mathbb{C}}[X]$ のすべての元は、ある複素数 $c$ (の同値類)と等しいことを示しなさい。

環 $R$ に対して、その元を成分にもつ行列を考えることができ、 通常の意味の和、差、積が(サイズがあっているという条件のもとで) 定義されて、一年生で習う線形代数のかなりの部分がそのまま 正しい。

$$M_n(R)=\{$$$R$ の元を成分にもつ $n×n$ 行列$$\}$$

とおくと、これは(可換ではない)環である。 その単位元は $1_n$ ($n$ 次の単位行列).

問題 5.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を成分にもつ行列の積

$$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 0\\ \end{pmatrix}$$

を計算し、できるだけ簡単な形、すなわち各成分の絶対値が 14以下の整数によって表されている形になるように直しなさい。

問題 5.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/14{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/16{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.9 (可換とは限らない)   環 $R$ の元を成分にする $m,n$ 行列 $A$ と $n,m$ 行列 $B$ とにたいして、

$$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$

が成り立つことを証明しなさい。

問題 5.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列は存在するだろうか。 行列式の乗法性

$$\operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y)=\operatorname{det}(X Y)$$

に基づいて答えなさい。

問題 5.11   どんな整数 $n$ に対しても、

$$AB-BA=1_n$$

をみたす行列 $A,B \in M_n({\mathbb{C}})$ は存在しないことを示しなさい。 (ヒント:トレース)

問題 5.12   素数 $p$ について、 $A,B\in M_p({\mathbb{F}}_p)$ で、

$$AB-BA=1_p$$

を満たすものの例を挙げなさい。 (かなり難問である。$p=3,5$ のときにまず試してみると良いかも知れない。)

問題 5.13   体 $K$ と素数 $q$ 、正の整数 $l$ が与えられているとする。このとき、 群 $K^\times$ の元 $x$ の、$K^\times$ の元としての位数(=乗法的位数) が $q^l$ の約数であるような元の全体は巡回群をなすことを 示しなさい。

問題 5.14   有限体 $K$ 上の行列 $A \in M_n(K)$ が、$M_n(K)$ の中で可逆なら、 ある正の整数 $m$ について

$$A^m=1_n \quad($$サイズ $n$ の単位行列$$)$$

が成り立つことを証明しなさい。