代数学 IB No.11要約

《素元分解環》(2)

今回は前回残した証明の残りを行ったあと、 多項式環の素元分解について論ずる。

定義 11.1   環 $R$ と $a,b\in R$ とにたいして、

1. $a \in b R$ のとき、 $a$ は $b$ の倍元であるといい、 $b\vert a$ で書き表す。$b$ を主語として、$b$ は $a$ の約元であるともいう。
2. ある $u \in R^\times$ があって、$a=bu$ をみたすとき、$a$ と $b$ とは 同伴であるという。

命題 11.1   整域 $R$ の元 $a,b$ にたいして、

1. $(a) \subset (b) {\Leftrightarrow} b\vert a$ .
2. $a$ と $b$ が同伴 ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$ .

命題 11.2   $R$ が素元分解環ならば、 $R\setminus \{0\}$ の各元は

$$u p_1 p_2 \dots p_l \qquad(l \in \mathbb{N}, u\in R^\times , p_1,\dots,p_l$$    は $R$ の素元$$)$$

と書くことができるが、この書き方は同伴を除いて一意的である。 すなわち、

$$u p_1 p_2 \dots p_l =v q_1q_2 \dots q_m$$

$$(l,m \in \mathbb{N}, u,v\in R^\times , p_1,\dots,p_l,q_1,\dots,q_m R )$$

ならば、$l=m$ であって、なおかつある $\sigma\in \mathfrak{S}_l$ があって 各 $j$ にたいして $p_j$ と $q_{\sigma(j)}$ はそれぞれ同伴になる。

定理 11.3   $R$ が素元分解環ならば $R[X]$ も素元分解環である。

系 11.4   素元分解環 $R$ 上の $n$ 変数多項式環 $R[X_1,X_2,\dots, X_n]$ は また素元分解環である。

補題 11.1   整域 $R$ が与えられているとき、集合

$$S_R=R\times (R\setminus\{0\})=\{(a,b); a\in R, b\in R, b\neq 0\}$$

に同値関係を

$$(a,b)\sim (c,d) {\Leftrightarrow}a d =b c$$

で定義する。 $(a,b)\in S_R$ のこの同値関係によるクラスを $a/b$ とかく。 $Q(R)=S_R/\sim$ に和、積を

$$a/b+ c/d=(ad+bc)/bd$$

$$a/b\cdot c/d=(ac)/(bd)$$

で定義すると、これらはうまく定義されて, $Q(R)$ は環になる。

定義 11.2   整域 $R$ にたいして上のように作られる環 $Q(R)$ を $R$ の商体と呼ぶ。

定理 11.3 の証明には、 $Q(R)[X]$ の素因数分解を利用して $R[X]$ の素因数分解をすることを考える。

次の概念を用いる。

定義 11.3   素元分解環 $R$ 上の一変数多項式 $f$ が 原始的であるとは、 $f$ の係数を全て集めたものの最大公約数が $1$ であるときにいう。

UFD での素元分解の存在から、次のことが言える。

補題 11.2   任意の $f\in R[X]$ は

$$f=a f_1 \qquad (a \in R,$$   $f_1&isin#in;R[X]$ は原始的$$)$$

と書くことができる。$a$ は同伴を除いて一意的である。

補題 11.3 (ガウス)   素元分解環 $R$ が与えられているとし、$K=Q(R)$ とおく。このとき

1. $R[X]$ の元 $f,g$ と $R$ の素元 $p$ とにたいして、
   $$fg\in p R[X] {\Leftrightarrow} f \in p R[X]$$    or $$g \in p R[X]$$

2. $R[X]$ の原始的な元の積は必ず原始的である。
3. $R[X]$ の原始的な元 $f$ について、 次のことは同値である。
   1. $f$ は $R[X]$ の素元である。
   2. $f$ は $R[X]$ の既約元である。
   3. $f$ は $K[X]$ の既約元である。
   4. $f$ は $K[X]$ の素元である。

証明. (3) (a) $\implies$ (b) は補題10.3の 1. から従う。 $K[X]$ はユークリッド整域であるから、一意分解環。ゆえに、 (c) ${\Leftrightarrow}$ (d) である。

(b) $\implies$ (c): $f$ は $R[X]$ の原始的既約元であるとする。 $f$ がもし $K[X]$ で既約でなければ、

$$c_1 f=c_2 g_1h_1$$

( $c_1,c_2\in R\setminus \{0\}$ , $g_1,h_1\in R[X]$ は原始的かつ1次以上) なる $c_1,c_2,g_1,h_1$ が存在することが分かる。 $g_1 h_1$ は(2)により原始的であるから。$c_1$ と $c_2$ は同伴。 そのことから、

$$f=u g_1 h _1 (\exists u \in R^\times)$$

がわかる。これは $f$ が $R[X]$ の既約元であることに反する。

(d)$\implies$ (a): $f$ は $R[X]$ の原始的な元で、$K[X]$ の素元であるとする。 $gh \in f R[X]$ なる $g,h \in R[X]$ があるとすると、$K[X]$ のなかで 考えることにより

$$g \in f K[X]$$    or $$h \in f K[X]$$

がわかる。どちらでもおなじことであるから $g \in f K[X]$ としよう。 一般性を失うことなく、$g$ は原始的であると仮定してよい。 $g\in K[X]$ から

$$b_0 g =b_1 f m$$

なる $b_0,b_1\in R\setminus \{0\}$ と、 原始的な元 $m\in R[X]$ の存在が分かる。 再び (2)のより、$b_0$ と $b_1$ とは同伴であることを知る。したがって、 $g \in f R[X]$ . $\qedsymbol$

問題 11.1   整域 $R$ にたいして、$Q(R)$ の和がうまく定義されることを実際に証明せよ。

問題 11.2   可換環 $R$ が与えられているとする。このとき、任意の $p \in R$ にたいして

$$R[X]/p R[X] \cong (R/pR)[X]$$

が成り立つことを示しなさい。