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代数学 IB No.5要約

《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

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まずは記法から。この記法は今日すぐ用いるという わけではないが、あとあとたびたび用いるので、ここで書いておく:

補題 5.1   可換環 $R$ と、$R$ の部分集合 $S$ について、 $S$ を含む $R$ のイデアルのうち最小のものが存在する。

定義 5.1   可換環 $R$ と、$R$ の部分集合 $S$ について、 $S$ を含む $R$ のイデアルのうち最小のものを、$S$ で生成される $R$ のイデアル といい、$(S)$ と表す。

丸括弧は、区切りを表す以外には 何の付加的な意味を持たないのが普通であるが、この用法は例外である。

補題 5.2   可換環 $R$ の有限部分集合 $T=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ に対して、

$$(T)=R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$$

が成り立つ。 $(T)=(\{a_1,a_2,\dots,a_n\})$ のことを普通 $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ と書く。

( $R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$ とは

$$\{\sum_{j=1}^n c_j a_j ; c_j \in R\}$$

の略記であることに注意しよう。)

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定義 5.2   可換環 $R$ があたえられたとする。

1. $R$ に 0 以外の零因子がないなら、 $R$ は整域であるという。
2. $R$ の 0 以外の元が $R$ で可逆であるとき、$R$ は体であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.3   可換環 $R$ のイデアル $I$ ($R\neq I$ )について、

1. $R/I$ が整域であるとき、$I$ は $R$ の素イデアルであるという。
2. $R/I$ が体であるとき、$I$ は $R$ の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来はもっとあとのほうで述べる。 さしあたっては、次の例が重要である。

例 5.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $\{0\}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の素イデアルであるが、 極大イデアルではない。
2. 素数 $p$ があたえられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の極大イデアルである。
3. 正の整数 $n$ が素数でないとき、 $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルではあるが、 素イデアルではない。

定義 5.4   素数 $p$ が与えられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は(上の例に述べたように)元の数が $p$ の体である。 この体を ${\mathbb{F}}_p$ と書く。

整域でない環では、今までの「常識」が通用しないことがある:

補題 5.3   環 $R$ と、その上の一変数多項式 $f(X)$ が与えられているとする。 $d=\deg(f)$ ($f$ の次数)とおくとき、

1. $R$ が整域ならば、 $f(r)=0$ をみたす $R$ の元 $r$ は $d$ 個以下である。
2. $R$ が整域でなければ、 $f(r)=0$ をみたす $R$ の元 $r$ が $d$ 個以上存在する場合もある。

(2)の例:

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $f(X)=3 X$ は一次式だが、$0,2,4$ のどれを代入しても 0 である。
2. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $f(X)=(X-1)(X-2)$ は二次式だが、$1,2,4,5$ のどれを代入しても 0 である。

※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

${\mathbb{F}}_{13}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/13{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の、0 以外の各元について、その逆元をもとめて、 下の表を完成させなさい。

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x^{-1}$	1	7					2