微分積分学概論AI試験解答と解説

問題 15.1   $f(x)=x^{100}$ とおく。 正の数 $\epsilon$ と実数 $a$ が与えられたとするとき、

$$\vert x-a\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $\delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。 (二項定理を証明なしに用いても良い。)

(解答)

$$\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{ (\vert a\vert+1)^{100} })$$

と置けば良い。 実際、このとき、 $x-a=h$ とおいて、

$$\vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta$$

とすると

$$\vert h\vert<1,$$ (あ)

$$(\vert a\vert+1)^{100}\vert h\vert<\epsilon.$$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

$$\vert h\vert \geq \vert h\vert^j \quad(j=1,2,3,\dots)$$ (う)

がなりたつ。 これらに注意して $\vert f(x)-f(a)\vert$ を下のように評価すれば良い。

$$\vert f(x)-f(a)\vert$$

$$\underset{\text{二項定理}}{=} \vert\sum_{j=1}^{100}\binom{100}{j}a^j h^{100-j}\vert$$

$$\leq \sum_{j=1}^{100}\binom{100}{j}\vert a^j h^{100-j}\vert$$

$$\underset{\text{(う)}}{\leq} \vert h\vert\sum_{j=1}^{100}\binom{100}{j} \vert a\vert^j$$

$$\leq \vert h\vert\sum_{j=0}^{100}\binom{100}{j} \vert a\vert^j$$

$$= \vert h\vert (\vert a\vert+1)^{100}$$

$$\underset{\text{(い)}}{<} \epsilon$$

$\qedsymbol$

(解説)

◯ 数学では二項定理のさい ${}_{n}C_{r}$ のような組合せの記号より $\binom{n}{r}$ を用いることが多い。その理由は

$$(1+x)^a=\sum_{j=0}^\infty \binom{a}{j} x^j$$

のような式を扱う際に明らかになる。

◯ 上の解答で、

$$\delta=\min(1, \frac{\epsilon} {\sum_{j=1}^{100} \binom{100}{j} \vert a\vert^j })$$

でももちろん構わない。ちょっと泥くさい感じにはなるが。

◯ 単に $x\mapsto x^{100}$ が連続であるという事実だけならば

1. $x \mapsto x$ は連続である。
2. $x \mapsto f(x)$ が連続で $x \mapsto g(x)$ も連続ならば $x\mapsto f(x)g(x)$ も連続である。

という事実から説明するほうが易しい。 じっさい、(2) を $f(x)=x,g(x)=x$ の場合に適用して $x\mapsto x^2$ は連続。 同様に $x\mapsto x^3$ も連続$,\dots$ という具合に論を進めれば良い。

問題 15.2   0 でない実数 $a$ が与えられているとする。 このとき、

1. $$\vert x-a\vert< \delta_0 \implies x\neq 0$$
   を満足するような正の実数 $\delta_0$ の例を ($a$ を用いて)挙げよ。
2. $f(x)=\frac{1}{x}$ とおく。 $\epsilon>0$ が与えられたとするとき、
   $$\vert x-a\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$
   をみたす $\delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $\delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

(1)

$$\delta_0=\frac{\vert a\vert}{2}$$

とおけば良い。じっさい、このとき $\vert x-a\vert<\delta_0$ なる任意の実数 $x$ に 対して、

$$\vert x\vert=\vert a+(x-a)\vert\geq \vert a\vert-\vert x-a\vert>\vert a\vert-\delta_0=\frac{\vert a\vert}{2}\\$$

がなりたち、ゆえに $x\neq 0$ であるから。

(2)

$$\delta=\min(\frac{\vert a\vert}{2},\frac{\vert a\vert^2\epsilon}{2})$$

とおけばよい。 実際、このとき、 $x-a=h$ とおいて、

$$\vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta$$

とすると

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert^2}{2} \epsilon,$$ (い)

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert}{2}$$ (ろ)

がなりたつ。これらに注意して $\vert f(a+h)-f(a)\vert$ を下のように評価すれば良い。

$$\vert f(a+h)-f(a)\vert$$

$$= \left\vert\frac{1}{(a+h)}-\frac{1}{a}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\right\vert = \frac{\vert h\vert}{\vert a\vert\vert a+h\vert}$$

$$\leq \frac{\vert h\vert}{\vert a\vert(\vert a\vert-\vert h\vert)} \qquad( )$$

$$\underset{\text{(ろ)}}{\leq} \frac{2\vert h\vert}{\vert a\vert^2} \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$$

$\qedsymbol$

問題 15.3   関数 $f$ を $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\in x \to f(x)=\max(3 x, 0)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ で定める。 このとき $f$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ で一様連続であることを証明しなさい。

(解答) まず

$$f(x)=\frac{1}{2}(3 x + \vert 3 x\vert )$$

であることに注意する。

任意の正の実数 $\epsilon$ に対して、 正の実数 $\delta$ を $\delta=\epsilon/3$ で定める。 このとき、 $\vert x-y\vert<\delta$ なる任意の $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して

$$\vert f(x)-f(y)\vert = \frac{1}{2}\vert(3 x + 3 \vert x\vert) - (3 y +3 \vert y\vert)\vert =\frac{1}{2}\vert 3 (x-y) + 3 (\vert x\vert - \vert y\vert)\vert$$

$$\leq 3/2 \vert x-y\vert + 3/2 \vert\vert x\vert - \vert y\vert\vert$$

$$\leq 3/2\vert x-y\vert +3/2 \vert x-y\vert= 3 \vert x-y\vert$$

$$< \epsilon.$$

$\qedsymbol$

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