次のことは、簡単だが大変重要である。
連続関数の場合はどうであろうか。一変数では関数の単調性がキーになる。
をみたすときにいう。
の逆関数
が存在する。 さらに、この は連続で、かつ狭義単調増加である。
話は全然違うが、一様連続性についても紹介しておこう。 (使うのは二学期の積分論のとき。)
がなりたつときにいう。
◯ が で連続であることは
で表現されることに注意しよう。 と の登場順に注意。
は 上で連続だが一様連続ではない。
は 上で連続で、一様連続でもある。
次の定理も区間縮小法からの帰結である。証明は教科書を 参照のこと。
は 上では一様連続ではないことを示しなさい。 (但し、指数法則
と , は証明なしに用いても良い。また、帰納法により容易に得られる式
も用いて良い。)