がなりたつときにいう。
極限の定義により、上の定義は次のように言い換えられる。
(☆)
上の定義で、
は
と
の距離、
は
と
の距離であることに注意する。上の定理による連続性の「定義」は
多変数関数や、距離空間のあいだの写像の連続性の定義に
そのまま一般化することができる。
上の定理は「定理」ではあるが、
連続性の定義における ``
'' の「例外的な扱い」を取り除いてむしろ
自然な形をしている。そこでこの講義ではもっぱら連続性を確かめるには
上の定理の(☆)で判定することにする。
を満たす正の数
を満たす正の数
◎
の否定。
一般に、
したがって、(☆)の否定、すなわち、 「
が
で連続でない」ことは、
次のように書き表すことができる。
(★)
かつ
で定義するとき、